archive-nl.com » NL » E » EINSTEINGENOOTSCHAP.NL

Total: 59

Choose link from "Titles, links and description words view":

Or switch to "Titles and links view".
  • Vertaling §7 Doppler en aberratie
    van deze golven zal geven die zich in een stelsel in beweging k in rust bevindt Door de in 6 gevonden transformatieformules voor de elektrische en magnetische krachten en de in 3 gevonden transformatieformules voor de coördinaten en de tijd toe te passen worden de volgende vergelijkingen verkregen X X 0 sin Φ L L 0 sin Φ Y γ Y 0 N 0 sin Φ M γ M 0 Z 0 sin Φ Z γ Z 0 M 0 sin Φ N γ N 0 Y 0 sin Φ Φ ω waarbij het volgende geldt ω ω γ a b d Uit de vergelijking voor ω volgt Als een waarnemer in beweging is ten opzichte van een oneindig ver weg gelegen lichtbron met de frequentie f 2 zodanig dat zijn snelheid een hoek φ vormt met de verbindingslijn lichtbron waarnemer gemeten in een coördinatenstelsel dat in rust is ten opzichte van de lichtbron dan is de door de waarnemer waargenomen frequentie f van het licht met de volgende uitdrukking te vinden f f Dit is het Beginsel van Doppler voor elektromagnetische golven Voor φ 0 neemt de formule de volgende overzichtelijke vorm aan f f Men ziet in strijd met de gebruikelijke opvatting dat voor v de frequentie f wordt 3 Als men φ de hoek tussen de normaal op de golf richting van de lichtstraal in het stelsel in beweging en de verbindingslijn lichtbron waarnemer noemt dan neemt de uitdrukking voor a de volgende vorm aan Deze vergelijking is de meest algemene uitdrukking voor de aberratiewet Als φ π 2 dan neemt de vergelijking de volgende eenvoudige vorm aan cos φ We moeten nu nog de amplitude van de golven zoals deze in het stelsel in beweging voorkomen bepalen Noemt men achtereenvolgens A en A de amplitude van

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/Vertaling%207.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive


  • Vertaling §8 Energie en stralingsdruk
    zeggen de energiehoeveelheid van die hoeveelheid licht ten opzichte van het stelsel k Het boloppervlak vormt beschouwd in het stelsel in beweging een ellipsoïde waarvoor op het tijdstip τ 0 de vergelijking geldt γ ξ a γ ξ 2 η b γ ξ 2 ζ d γ ξ 2 R 2 Als we het volume van de bol S noemen en van de ellipsoïde S laat een eenvoudige berekening zien dat Als we dus de in het stelsel in rust gemeten lichtenergie E noemen en E de in het stelsel in beweging gemeten lichtenergie die zich binnen de ruimten bevinden die door de genoemde vlakken worden omsloten dan verkrijgt men welke formule voor φ 0 de volgende vereenvoudigde vorm aanneemt Men dient er nota van te nemen dat de energie van een hoeveelheid licht volgens dezelfde wetmatigheid afhankelijk is van de bewegingstoestand van de waarnemer als de frequentie Laten we nu aannemen dat het vlak dat gevormd wordt door de coördinaat ξ 0 een volkomen spiegelend vlak is waartegen de in de laatste paragraaf beschouwde vlakke golven worden weerkaatst We willen weten welke lichtdruk op het spiegelend vlak wordt uitgeoefend en welke richting frequentie en intensiteit het licht zal hebben na de weerkaatsing Het invallende licht wordt ten opzichte van het stelsel K door de grootheden A cos φ en f gedefinieerd Gezien vanuit k zijn de overeenkomstige grootheden Voor het weerkaatste licht verkrijgen we als we het gebeuren vanuit het stelsel k beschouwen A A cos φ cos φ f f Zo verkrijgt men door terugtransformatie naar het stelsel in rust K voor het weerkaatste licht cos φ f f De energie die de spiegel per oppervlakte eenheid en per tijdseenheid treft gemeten in het stelsel in rust is van zelfsprekend De energie die zich per oppervlakte eenheid en

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/Vertaling%208.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Vertaling §9 Transformaties
    opgestelde theorie van de elektrodynamica en optica van bewegende voorwerpen Vervolgens transformeren wij deze vergelijkingen die in het stelsel K gelden met behulp van de transformatieformules van 3 en 6 naar het stelsel k en we verkrijgen de vergelijkingen waarbij en Aangezien de vector u ξ u η u ζ niets anders is dan de snelheid van het elektrische deeltje gemeten in het stelsel k zoals uit de optelformule voor

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/Vertaling%209.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Vertaling §10 Massa en snelheid
    dat het elektron gezien vanuit het stelsel k in de onmiddellijk daarop volgende tijd voor kleine waarden van t zal bewegen volgens de vergelijkingen waarbij de symbolen ξ η ζ τ X Y Z bij het stelsel k behoren Als we verder afspreken dat voor t x y z 0 ook τ ξ η ζ 0 is dan kunnen de transformatieformules van de 3 en 6 worden toegepast Er geldt X X Y γ Y N Z γ Z M Met behulp van deze formules transformeren we de bovenstaande bewegingsvergelijkingen van stelsel k naar stelsel K Dat levert op A We stellen ons nu de vraag waarbij we de gebruikelijke beschouwingswijze volgen welke waarde aan de longitudinale en welke aan de transversale massa van het bewegende elektron moet worden toegekend We schrijven de vergelijkingen A in de vorm en merken vervolgens op dat ε X ε Y ε Z de componenten zijn van de op de trage massa van het elektron werkende kracht uiteraard beschouwd vanuit een stelsel dat op het betreffende moment met dezelfde snelheid als het elektron beweegt Deze kracht zou bijvoorbeeld met een in het stelsel in beweging in rust zijnde veerbalans kunnen worden gemeten Wanneer we deze kracht nu eenvoudigweg de kracht die op het elektron werkt noemen en uitgaan van de vergelijking Massa x Versnelling Kracht en als we verder afspreken dat de versnellingen in het stelsel in rust K gemeten worden dan verkrijgen we uit bovenstaande vergelijkingen De longitudinale massa De transversale massa Natuurlijk zou men bij een andere definitie van de kracht en de versnelling andere waarden voor de massa s verkrijgen men ziet daaruit dat men bij een vergelijking van verschillende theorieën over de beweging van het elektron grote voorzichtigheid moet betrachten We merken op dat het resultaat betreffende de massa ook voor een materiepunt dat uit zware massa bestaat geldt want van een dergelijk materiepunt kan door het aanbrengen van een willekeurig kleine elektrische lading een elektron volgens onze definitie worden gemaakt We zullen nu de kinetische energie van het elektron bepalen Wanneer een elektron met een beginsnelheid 0 vanaf de oorsprong van het stelsel K precies langs de X as beweegt door de werking van een elektrostatische kracht X dan is het duidelijk dat de energie die aan het elektrostatische veld wordt onttrokken de waarde ε X dx heeft Als het elektron slechts langzaam wordt versneld en dientengevolge geen energie in de vorm van straling kan afgeven moet de aan het elektrostatische veld onttrokken energie gelijk worden gesteld aan de bewegingsenergie W van het elektron Men verkrijgt dan bedenkende dat gedurende de gehele in beschouwing genomen beweging de eerste van de vergelijkingen A geldt W wordt dus voor v c oneindig groot opnieuw volgt hieruit dat snelheden groter dan de lichtsnelheid niet kunnen bestaan De uitdrukking voor de kinetische energie W moet zoals hier boven werd beargumenteerd ook voor zware massa s gelden We zullen nu drie eigenschappen van de beweging van het elektron volgens het stelsel vergelijkingen A opsommen

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/Vertaling%2010.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Uitleg Inleiding
    tocht heen en terug over het kanaal en hoe lang over de rivier Antwoord Toegift De rivier is 500 m breed Hoe lang doet de schipper er over om naar de overkant en terug te varen Hou rekening met de zijwaartse stroom en verwaarloos tijdverlies bij het keren Vergelijk die tijd met de tijd die de schipper er over doet om 500 m stroomopwaarts en terug te varen en bereken ook hoeveel tijd het zou kosten als er geen stroming was Antwoord Naar oefening 2 Het was om gek van te worden Onze eigen Hendrik Antoon Lorentz 3 heeft alle mogelijke moeite gedaan de negatieve resultaten theoretisch te verklaren en hij kwam daarbij tot formules en uitspraken die verbazingwekkend veel op de formules en resultaten lijken die we in het voor ons liggende artikel van Einstein zullen aantreffen Zo kwam Lorentz al tot de aanname dat de afmeting van een snel bewegend voorwerp in zijn bewegingsrichting samentrekt korter wordt maar hij zag het als een effect dat door de lichtether werd veroorzaakt terwijl Einstein zal aantonen dat het een gevolg is van het krimpen van de ruimte met alles wat erin zit in de bewegingsrichting Daar komen we op terug Einsteins benadering doorbrak de impasse Men was er stil van Pas maanden na zijn publicatie kwamen de eerste voorzichtige reacties binnen 4 Einstein had doorzien dat het aan de basis van de bestaande theorie helemaal mis zat Laten we zijn artikel er maar weer bijpakken we waren bij de eerste alinea gebleven Einstein windt er geen doekjes om Hij begint met er op te wijzen dat men in de praktijk een onderscheid maakt in de beschrijving van de effecten van het naar een magneet toebrengen van een elektrische geleider en het naar een elektrische geleider toebrengen van een magneet en dat gaat tegen je gezonde verstand in Daar kunnen we het van harte mee eens zijn Iedere scholier voelt met zijn klompen aan dat het voor de opgewekte stroom in een draad niet uitmaakt of je de magneet of de draad in beweging brengt Als de beweging ten opzichte van elkaar maar hetzelfde is Dat spreekt voor zich Het gekke is dat men dat toen ook wel wist maar er werd geen goede theoretische beschrijving 5 gevonden Vervolgens stelt hij voor om maar eens op te houden met het moeizame geworstel om de negatieve uitkomsten van de proeven van Michelson in overeenstemming te brengen met de theorie De uitkomsten waren goed en de theorie was fout Zo eenvoudig was dat De lichtether als een uiterst ijle starre substantie in absolute rust waar tegenover bijna alles verder in beweging was moest als een onhoudbare fysische voorstelling in de prullenbak worden gegooid Einsteins uitgangspunt is dat als ergens in een stelsel geldt dat onze wetten van de mechanica er kloppen ook de andere wetten van de natuurkunde er geldig moeten zijn 6 Hij noemt dit het Relativiteitsprincipe Wat hij ermee bedoelt is dat als je bijvoorbeeld in een constant vliegend vliegtuig een munt opwerpt deze munt net zo beweegt als wanneer je dat thuis zou doen even afgezien van een mogelijk verschil in zwaartekracht Het beweegt exact volgens de wetten van de mechanica en in zijn tijd was de wetenschap het er al lang over eens dat de wetten der mechanica overal gelijk waren althans de banen van planeten en hun manen en van kometen waren volledig in overeenstemming met de banen die door berekening met onze mechanicawetten werden verkregen Dit vermoeden voor het eerst uitgesproken door de Italiaanse natuur en sterrenkundige Galileo Galileï 1564 1642 wordt door Einstein uitgebreid naar de rest van de natuurkunde Een proef in het zo even genoemde vliegtuig met magneten en elektrische stromen moet volgens dezelfde wetten verlopen als wanneer je de proef thuis onder verder gelijke omstandigheden zou doen Ook de stralengang van een lichtbundel door een lens mag in het vliegtuig niet verschillend zijn van die in het laboratorium op aarde Eigenlijk gaat iedereen daar vanuit Het lijkt daarom helemaal niet zo n bijzondere stap Einstein onderzocht echter welke consequenties deze uitspraak heeft voor de omrekening van wat je in een voorbijvliegend laboratorium waarneemt naar wat je in jouw eigen stilstaande laboratorium zou moeten waarnemen Die omrekening daar kwamen de verrassingen uit voort Terug Einstein wijst er op p 891 vierde regel van onder dat de proefnemingen van Michelson zeer nauwkeurig tot afwijkingen van de eerste orde van grootte werden uitgevoerd en dat het effect van de lichtether mits dat bestond daarmee zeker zou zijn aangetoond Met tot afwijkingen van de eerste orde van grootte wordt de mate van nauwkeurigheid aangegeven Wat dat precies betekent dat is nog een heel verhaal De betekenis van tot afwijkingen van de eerste orde van grootte We gaan even terug naar oefening 1 de schipper die normaal een snelheid s ontwikkelt maar met de stroom mee een snelheid s w krijgt en tegen de stroom in een snelheid s w als w de snelheid van de waterstroom is Hoe lang doet het schip over de afstand tussen A en B Met de stroom mee en tegen de stroom in Over de rivier is de tijdsduur voor de heen en terugreis de som van de tijden voor de heenreis en de terugreis eerste uitdrukking Als hij echter over een kanaal met stilstaand water zou varen zou de tijd die het schip over de heen en terugreis zou doen uitkomen op Dat verschilt van de eerste uitdrukking We willen de eerste tijdsduur zo goed mogelijk vergelijken met de tijdsduur en daarom gaan we de eerste uitdrukking anders schrijven We brengen AB buiten haakjes Vervolgens brengen we dit onder één noemer gebruik makend van s w s w s 2 w 2 en we krijgen We delen 2 AB door s dan moeten we tegelijkertijd de term tussen haakjes met s vermenigvuldigen om te zorgen dat het geheel gelijk blijft Tenslotte delen we de teller en de noemer van wat er tussen haakjes staat door s 2 en we verkrijgen Je

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%200.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Uitleg §1 Klokken
    de coördinaten 2 3 4 met als eenheid de meter maar dat zou geen verstandig antwoord zijn geweest Ø De oorsprong O is het punt met de waarden 0 0 0 en wordt vaak het nulpunt genoemd Het assenstelsel denken we ons als een onvervormbaar geheel Als het huis in de winter door de lage temperatuur een millimeter is gekrompen willen we niet dat ons assenstelsel meekrimpt Dan zouden we de krimp niet kunnen meten De assen zijn dus starre loodrechte lijnen En ook de voorwerpen waar we in de bewegingsleer mee werken beschouwen we als onvervormbaar Daar wijst Einstein op in de laatste regels van zijn inleiding p 892 omdat hij zal laten zien dat aan die onvervormbaarheid nog wel wat af te dingen is Fig 1 01 Een cartesisch coördinatenstelsel Bij een coördinatenstelsel denk je in eerste instantie aan een stilstaand stelsel Daarmee leg je vast waar een eveneens stilstaand voorwerp zich bevindt Maar een voorwerp kan ook in beweging zijn Dan veranderen de coördinaten van het voorwerp voortdurend en we zeggen dan dat het voorwerp een baan in het stelsel in rust beschrijft Je mag met het voorwerp ook een coördinatenstelsel laten meebewegen Dan is het voorwerp in dat meebewegende stelsel gewoon weer in rust Rust is een beladen begrip Einstein maakt ons op p 892 duidelijk dat we het begrip een ruimte in absolute rust uit ons woordenboek kunnen schrappen Wat moeten we ons dan voorstellen bij een assenstelsel in rust Dat is gewoon een afspraak Een coördinatenstelsel waarin wij ons tezamen met onze omgeving in rust bevinden noemen we het coördinatenstelsel in rust ondanks dat we ondertussen best weten dat we met de hele mikmak met een gigantische snelheid rond de zon draaien In zo n coördinaten stelsel in rust gelden de wetten van Newton 2 Daar verwijst Einstein naar in de eerste alinea van 1 Het gaat om de mechanicawetten die op de middelbare school worden geleerd te weten op een voorwerp dat stilstaat of volhardt in een eenparige constante rechtlijnige beweging werken geen krachten of de krachten houden elkaar in evenwicht als een voorwerp vanwege één overgebleven kracht een versnelling ondergaat geldt dat de versnelling a gelijk is aan de kracht F gedeeld door de massa m van het voorwerp of a F m meestal geschreven als F m a De euclidische meetkunde waarover Einstein spreekt is de gewone meetkunde zoals je die op school hebt geleerd Niets bijzonders Voor de beschrijving van een bewegend punt moet de plaats op ieder tijdstip met een formule een functie kunnen worden vastgesteld als functie van de tijd Voorbeeld De plaats op het tijdstip t van een eenparige beweging langs de X as kan worden beschreven met de formule functie van de tijd x t x 0 v t met x 0 de beginplaats v de snelheid x t de plaats op het tijdstip t Neem een fietser die op t 0 een lantaarnpaal x 0 passeert met een snelheid v 6 m s Deze bevindt zich na 25 seconde op de plaats x 25 x 0 6 25 0 150 150 m voorbij de lantaarnpaal Als functie van de tijd zo kan je dus elke beweging beschrijven maar daar zat juist de makke Het begrip tijd rammelde Einstein begint p 893 met een belangrijke opmerking namelijk dat tijd voor ons altijd te maken heeft met gelijktijdigheid Daarbij houdt hij zich niet bezig met gezanik hoe je precies de gelijktijdigheid moet bepalen van twee gebeurtenissen waar je zelf bijstaat daar wil hij niet op ingaan Dat spreekt voor zich In de voetnoot doet hij dat af met de woorden dat dit probleem via een abstrahering moet worden aangepakt Dat is mooi gezegd en het betekent dat het eveneens theoretisch kan worden uitgewerkt De meetnauwkeurigheid van de instrumenten zal daarbij een belangrijke rol spelen Voor ons verhaal is dit verder niet van belang Waar het om gaat is dat we de tijd aangeven aan de hand van een gelijktijdige gebeurtenis Bijvoorbeeld het jaar 79 na Christus toen werd Pompeï bedolven was het jaar dat de aarde 1926 rondjes rond de zon minder had afgelegd dan nu 2005 Het rondje waar de aarde mee bezig was en de uitbraak van de Vesuvius vielen samen twee gelijktijdige gebeurtenissen De definitie vraagt om een verfijning als het om gebeurtenissen gaat die zich in het nu op ver van elkaar verwijderde plaatsen afspelen Is gelijktijdig dan het moment dat je er bericht van krijgt of het moment dat het werkelijk gebeurde We kiezen uiteraard voor het laatste Als er op de planeet Mars iets gebeurt weten wij er pas na minimaal 4 minuten en 20 seconden van als Mars op zijn dichtstbijzijnde punt van de aarde is maar het kan ook 21 minuten duren als Mars aan de andere kant van de zon staat het verst verwijderde punt ten opzichte van ons Je moet dus van moment tot moment de afstand kennen om het tijdstip van de gebeurtenis te kunnen bepalen Of wat veel handiger is je zet een waarnemer een instrument of desnoods een journalist op Mars met een klok die precies gelijkloopt met de klokken op aarde Dan kan hij van elke gebeurtenis doorbellen hoe laat deze plaatsvond Einstein stelt voor een waarnemer van elke gebeurtenis waarvan een bericht binnenkomt de tijd te laten noteren Hij maakt zich daar met een grap vanaf omdat dat niet de richting was waarin hij verder wilde denken door te stellen dat je dan te doen krijgt met de kwalijke waarnemingsfouten van de waarnemer zoals we uit ervaring weten Hij bracht de waarnemers aller landen in diskrediet maar niemand hoefde zich aangesproken te voelen Waarnemingsfouten horen namelijk bij het waarnemen De waarnemingsfouten spelen geen rol in zijn theorie terwijl de theorie vol waarnemers en waarnemingen zit Omdat Einstein dat ook wel wist denk ik dat hij nog jaren heeft zitten nagniffelen over deze verwarring zaaiende zin Het is van het grootste belang om goed te omschrijven hoe twee klokken op grote afstand van

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%201.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Uitleg §2 Balken
    die er intussen bij zijn komen staan Mijn kameraad heeft zeker te vroeg geschoten oppert de achterste cowboy Dat lijkt ons sterk cowboys staan bekend als punctuele schutters Bovendien hebben we met eigen ogen gezien dat ze tegelijkertijd het schot losten Misschien kan jij niet goed klokkijken en heb jij te laat geschoten gromt de voorste cowboy geërgerd Dat zou kunnen een cowboy hoeft immers voor de uitoefening van zijn vak niet noodzakelijkerwijs goed te kunnen klokkijken maar dit argument zou voor beide stoere jongens kunnen gelden Wij verwerpen de suggestie omdat we met eigen ogen aan het opspattende asfalt hebben gezien dat ze gelijk schoten Of die klokken lopen niet gelijk zegt één van hen Die is gek denken we maar om elke twijfel bij de cowboys weg te nemen laten we hen controleren of hun klokken volgens het recept van Einstein gelijklopen Wij zien hun klokken gelijklopen dus we zijn er van overtuigd dat de cowboys met de klokkentest ook tot de conclusie zullen komen dat hun klokken gelijklopen Het lijkt een overbodig proefje We vragen de cowboys opnieuw plaats te nemen op de balk en nadat we de balk met klokken en cowboys weer in beweging hebben gezet zorgen we er opnieuw voor dat hun klokken dezelfde tijd aanwijzen als onze klokken Daarna geven we de cowboys gelegenheid om zelf te controleren of hun klokken wel gelijklopen Dit moeten ze doen door de klokkentest van 1 uit te voeren op de balk Jij als lezer moet bedenken dat de balk met de klokken voor de cowboys een stelsel in rust vormt Ze doen de klokkentest De achterste cowboy zendt op tijdstip t A een lichtsignaal naar de voorste Het signaal komt op tijdstip t B aan en wordt op hetzelfde moment gereflecteerd om uiteindelijk op t A weer in A terug te komen Iedereen kan meekijken je zou de wijzers kunnen laten oplichten als het lichtsignaal aankomt of vertrekt en constateren dat de opgegeven tijden kloppen De cowboys verwachten t B t A t A t B omdat de afstand van A naar B even groot is als van B naar A Het licht moet over de heenweg even lang doen als over de terugweg denken ze Maar eigenlijk nemen we ze in de maling door ze klokken mee te geven die onze tijd aanwijzen de tijd van de grondploeg De tijdstippen die de cowboys aflezen zijn de tijdstippen die wij ook aflezen op onze klokken Voor ons moet het licht echter op de heenweg een grotere afstand afleggen dan de lengte r AB van de bewegende balk want in de tijd dat het licht onderweg is beweegt punt B zich over een afstand v t B t A De afstand die het licht op de heenweg moet afleggen is dus volgens ons groter dan r AB r AB v t B t A Ø We mogen voor de lengte van de balk niet invullen omdat we juist bezig waren de lengte te meten De lengte van de bewegende balk is in ons stelsel vooralsnog onbekend en daarom moeten we er voorlopig een ander symbool voor kiezen in dit geval r AB De tijd die het lichtsignaal volgens ons over de heenweg van A naar B doet en die door de cowboys wordt gemeten met de klokken die dezelfde tijd aanwijzen als onze klokken is dus t B t A r AB v t B t A c Dit gaan we overzichtelijker schrijven Als je c naar de andere kant brengt krijg je c t B t A r AB v t B t A We brengen de termen met t B t A bij elkaar c t B t A v t B t A r AB en zetten vervolgens c v tussen haakjes c v t B t A r AB Beide kanten delen door c v en zo verkrijgen we de formule voor de tijd die het signaal er volgens ons over doet om van A naar B te komen Voor de terugweg p 897 geldt dat de afstand korter is dan r AB In de tijd dat het licht van B naar A onderweg is is A het licht al over een afstand v t A t B tegemoet gesneld De terugweg is dus een afstand van r AB v t A t B Toon zelf op een vergelijkbare manier aan dat de tijd die het licht nodig heeft om van B naar A te geraken met de volgende uitdrukking wordt weergegeven Wij zijn verbijsterd De klokken op de bewegende balk lopen niet gelijk volgens het recept van Einstein terwijl we er voor gezorgd hadden dat ze gelijk liepen Op de bewegende balk is er een tijdverloop van voor naar achter De cowboys maken er weinig woorden aan vuil Die klokken zijn niet goed Waarom lopen ze niet gelijk vraagt iemand uit het team Nou omdat c v niet gelijk is aan c v dan kan niet gelijk zijn aan dus moet t B t A ongelijk zijn aan t A t B of te wel t B t A t A t B Volgens de klokkentest lopen de klokken pas gelijk als de twee termen gelijk aan elkaar zijn Als v positief is moet t B t A groter zijn dan t A t B Dus als de klokken op de balk volgens ons gelijklopen met onze klokken is er volgens de cowboys een tijdsverschil De klok van cowboy B het begin vooraan de balk loopt volgens de klokkentest van Einstein uitgevoerd op de bewegende balk vóór op de klok van cowboy A achteraan De voorste klok loopt vóór Voorbeeld Als het licht tien minuten doet over de afstand van A naar B en klok B loopt 1 minuut vóór op klok A dan zal het afgelezen tijdverschil op de heenweg 11 minuten zijn en op de terugweg 9 minuten t B t A is groter dan t A t B Dus als je de klokken in het stelsel in beweging dezelfde

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%202.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Uitleg2plus
    te vlug geschoten Met de gevonden waarde loopt volgens de meting van de cowboys klok B vóór op klok A als beide klokken gelijk en even snel lopen als onze klokken Als de cowboys klok B volgens hun inzicht gelijk laten lopen met klok A zal volgens óns klok B met de genoemde tijd Δt àchterlopen op klok A Het achterlopen is zoals je ziet uit de formule te vlug geschoten afhankelijk van de lengte van de balk Hoe verder B van A afligt hoe groter het tijdsverschil We weten al dat een klok in het bewegende stelsel trager tikt Omdat B op ieder punt in de ruimte langs de x as kan worden gekozen is het van belang om een uitdrukking voor de tijd τ B van het punt B waarvan de plaats op de x as in zijn algemeenheid x wordt genoemd te vinden omdat je dan een algemene uitdrukking voor de tijd τ hebt die overal langs de x as geldig is We laten zien welke tijd voor cowboy B geldt De tijd τ B van B loopt dus ten opzichte van de tijd τ A van A een stukje Δτ achter τ B τ A Δτ Het stukje Δτ kennen we in eerste instantie niet maar we kennen wel het stukje Δt volgens onze tijdaanwijzing dat de klok B achterloopt op klok A Maar dan kunnen we Δτ uitrekenen want we hebben gezien dat tussen de tijd op onze klokken en de tijd op de klokken van de cowboys de relatie langzamere tijd geldt Voor de tijdsduur geldt zo eveneens Dit is de formule te vlug geschoten volgens de cowboys Hiermee wordt Dit gaan we herschrijven tot we een uitdrukking krijgen die er wat overzichtelijker uitziet De plaats de x waarde van het punt B ten opzichte van een beginpunt op de grond de oorsprong van het stelsel in rust is voor ons op ieder tijdstip t in de x richting r groter dan de plaats van A Zie figuur 2 22 Als we afspreken hetgeen betekent dat we het op die manier aanpakken of je het er mee eens bent of niet dat A zich op het tijdstip t 0 op de plaats x 0 bevindt dan is de plaats van A na enige tijd op het tijdstip t gelijk aan v t De balk vliegt nou eenmaal met de snelheid v langs onze observatieposten Omdat wij een lengte r voor de balk meten is de plaats van B volgens ons op dat tijdstip x v t r Er geldt dus r x v t We vullen voor de plaats r in het bewegende stelsel van het punt B in r x v t waarbij x en t waarden zijn die in het stelsel in rust gelden zie fig 222 Daarmee krijgen we voor t B drie termen De eerste en de laatste geven we dezelfde noemer en we zetten ze bij elkaar Het is een beetje puzzelen Nu breng je de eerste en de tweede term aan de rechterkant onder dezelfde noemer Dit vereenvoudigen we verder tot een overzichtelijke vorm en in plaats van τ B schrijven we gewoon τ omdat deze formule algemeen voor de tijd van een punt dat zich op een willekeurige plaats bevindt in het bewegende stelsel op de balk dus voor ieder tijdstip t in het stelsel in rust en voor iedere plaats x in het stelsel in rust geldt Deze formule bevat venijn omdat de wortelvorm kleiner is dan één zou je denken dat τ groter is dan t Als je x constant houdt klopt dat Je kijkt dan als het ware telkens naar nieuwe klokken die vervolgens verdwijnen in de x richting De voorste klok liep achter op de achterste en de achterste laatst geziene klok loopt dus voor op de voorste Het beeld verschuift De tijd op de opeenvolgende klokken die je ziet passeren loopt sneller dan onze tijd dankzij het verloop van de tijd in het bewegende stelsel Als je één klok in de gaten houdt neemt zijn plaats x toe met v t De term tussen haakjes wordt dan Hiermee wordt Δτ de formule die we al gezien hadden de langzamere tijd Deze is zoals verwacht kleiner dan t Dan loopt de klok in het stelsel in beweging trager dan in het stelsel in rust De formule is van groot belang in het verhaal van Einstein In de volgende paragraaf zullen we hem opnieuw tegenkomen maar dan volgen we de afleiding die Einstein ervoor gaf Stap 5 De plaats nog eens bekeken We hadden gezien zie stap 3 dat de voorbijvliegende balk korter is bij meting dan dezelfde balk in rust Omdat elke afstand in gedachten door een balk kan worden voorgesteld zal iedere afstand in een bewegend stelsel korter worden bevonden De vraag of de balk nou werkelijk korter is moet met ja worden beantwoord De cowboys meten de lengte en wij meten r De balk is niet veranderd maar hij neemt in bewegende toestand minder lengte in dan in rust Onder stap 3 hadden we voor de lengte van de bewegende balk gevonden r Zoals we eerder hadden gezien is r x v t Dus x v t Figuur 2 22 De plaats van het punt B De lengte is de plaats van punt B in het bewegende stelsel en het punt x is de plaats van het punt B in ons stelsel Zo vinden we de relatie tussen de plaats van het punt B in ons stelsel en in het cowboy stelsel Om de waarden die voor het bewegende stelsel gelden duidelijk te kunnen onderscheiden van de waarden in het stelsel in rust gebruikt Einstein hiervoor Griekse letters Voor de tijd was dat de τ tau en voor de plaats in de x richting wordt het de letter ξ xi In het bewegende stelsel mag je dan praten over de ξ richting en over de ξ as van dat stelsel Daarmee schrijven we de formule als ξ Dit is de tweede zeer belangrijke formule die Einstein afleidt in zijn artikel Stap 6 Conclusie We hebben twee belangrijke formules gevonden waarmee het mogelijk is van een bepaald punt de plaats ξ en de tijd τ op de balk te vinden als je van dat punt de plaats x en de tijd t uit onze waarnemingen kent ξ plaatsformule tijdformule De twee formules heten officieel de Lorentztransformaties Oefening 5 De balk met de cowboys A en B heeft een lengte r door ons gemeten Laat zien aan de hand van de plaatsformule dat op het tijdstip t 0 als A zich in ξ x 0 b evindt de cowboy B zich in het punt ξ bevindt Laat zien aan de hand van de tijdformule dat op het tijdstip t 0 als A zich in de oorsprong bevindt ξ x 0 voor B de tijd geldt volgens de formule te vlug g eschoten zie eerder volgens de cowboys met een minteken omdat de tijdformule ook tot uitdrukking brengt dat B achterloopt Terug Voorbeeld We zullen in dit voorbeeld één met de balken de cowboys de klokken en het licht vergelijkbare situatie schetsen maar met veel kleinere snelheden We stellen ons een kanaal met stilstaand water voor Over het kanaal wordt een rechthoekig raamwerk met een in rust gemeten lengte van 100 m voortgetrokken met een snelheid v 1 25 m s zie figuur 2 23 De constructie beweegt zo lichtvoetig over het water dat het water niet in beroering komt Tussen de voorzijde en de achterzijde van de constructie vaart een bootje heen en weer met een constante snelheid c 4 m s ten opzichte van het water Tijdens het keren verliest het geen tijd In dit systeem wordt met het heen en weer varende bootje de meetprocedure van Einstein uitgevoerd om te onderzoeken of twee klokken gelijklopen Snelheden groter dan 4 m s voor de constructie worden uitgesloten want dan werkt de procedure uiteraard niet meer Op de achterzijde van de constructie zit cowboy A met zijn klok en aan de beginzijde zit cowboy B met zijn klok Binnen de constructie laten de cowboys stiekem een bak water meeslepen even lang als het raamwerk om een eigen bootje met 4 m s heen en weer te kunnen laten varen Dat is niet eerlijk maar wij doen alsof we er niets van weten Wij staan langs de kant van het kanaal met een goede klok in de hand We gaan er van uit dat de tijd τ en de lengte r in het bewegende stelsel anders zijn dan de tijd t en de lengte bij ons We plaatsen twee vlaggetjes langs het kanaal op een onderlinge afstand van eveneens precies 100 m Als het raamwerk passeert meten we hoe lang punt B erover doet om van het eerste tot het tweede vlaggetje te komen Dit is de gewone meting en we vinden Δt 100 1 25 80 sec Als we cowboy B vragen om de tijd te meten vindt hij een waarde die gelijk moet zijn aan Δτ r 1 25 sec want voor hem is de afstand r tussen de vlaggetjes niet gelijk aan 100 m terwijl de snelheid waarmee de vlaggetjes hem passeren dezelfde snelheid is die de constructie heeft ten o pzichte van ons 1 25 m s Van belang is de verhouding Δτ Δt r 100 1 Hoeveel trager is de tijd in het bewegende stelsel Om dit te beantwoorden bekijken we hoe lang het bootje over de heen en terugweg tussen A en B doet De tijdsduur om van A naar B en terug te geraken is volgens ons Δ t r 4 1 25 r 4 1 25 r 0 5541 sec Volgens de cowboys is de benodigde tijd over de heen en terugreis gemeten met hun bootje in de stiekem meegesleepte bak met stilstaand water Δτ 200 4 50 sec Deze verhouding is dus Δτ Δt 50 r 0 5541 90 23 r 2 Als we de verhoudingen 1 en 2 gelijkstellen krijgen we r 2 90 23 100 9023 Hieruit volgt r 90 23x100 94 99 m Ditzelfde resultaat kunnen we op directe wijze via de formule kortere balk zie aldaar krijgen Nu kunnen we berekenen met 1 welke tijd B meet voor de passage van de twee vlaggetjes Δτ 94 99 100 80 75 9 9 sec Dat is wel wat anders dan die 80 sec die wij hebben gemeten Figuur 2 23 Raamwerk met snelheid v in een kanaal De tijd verloopt voor B dus duidelijk langzamer Voor B 75 99 sec en voor ons 80 sec We kunnen ons met dit voorbeeld voor ogen ook indenken hoe het achterlopen van klok B ontstaat De raamconstructie ligt oorspronkelijk stil in het kanaal We gaan uit van klokken die allemaal gelijklopen en dat willen we controleren voor de situatie dat de constructie van stilstand tot een zekere snelheid komt Op het moment het bootje wegvaart bij A komt de constructie gelijkmatig versneld in beweging Als het bootje bij B aankomt heeft dit punt snelheid verkregen en heeft zich in die tussentijd verplaatst Het bootje moet dus een grotere afstand afleggen dan bij een stilliggende constructie en doet daar langer over Het bootje vaart terug A komt het bootje al tegemoet dus de tijd over de afstand B naar A is minder dan van A naar B Hieruit moet de conclusie worden getrokken dat volgens de meting klok B voorloopt immers als de klokken gelijklopen moet het bootje even lang over de heenweg als over de terugweg doen Als de cowboys hiervoor corrigeren dan zien wij klok B achterlopen We laten het bootje heen en weer varen tot de constructie zijn eindsnelheid v heeft bereikt Het is aannemelijk dat door het optellen van alle beetjes dat B achterliep het tijdsverschil wordt gevonden volgens de formule te vlug geschoten te vlug geschoten Dus tijdens de versnelling ontstaat een tijdverschil tussen de voorste en de achterste klok Opmerkingen 1 ste De meetprocedure van Einstein gaat uit van een lichtsignaal dat in dezelfde richting als de bewegingsrichting van de balk wordt heen en weer gezonden Wat nu als het licht loodrecht op de bewegingsrichting van de balk wordt uitgezonden We laten daartoe een balk met een lengte waarop zich in de punten A en B de cowboys bevinden loodrecht op zijn lengteas bewegen De cowboys meten door het lichtsignaal langs de balk naar elkaar toe te zenden Van A naar B en weer terug naar A De bewegingsrichting van de balk staat dan loodrecht op de bewegingsrichting van het lichtsignaal volgens de cowboys Zij meten voor de tijd die het licht over de heen en terugreis langs de balk doet τ 2 c Voor ons gebruikt het licht meer tijd zie figuur 2 24 omdat de afstand van A naar B en vervolgens van B naar A groter is dan tweemaal de afstand van A naar B Figuur 2 24 De meetprocedure loodrecht op de bewegingsrichting De afstand van A naar B en terug van B naar A is volgens Pythagoras De tijd die het licht er voor ons over doet is dus t Door beide zijden van deze vergelijking te kwadrateren krijg je t 2 4 c 2 2 v ½t 2 4 2 c 2 v 2 t 2 c 2 Hiermee wordt t 2 1 v 2 c 2 4 2 c 2 en t Als je dit vergelijkt met de tijd van de cowboys τ 2 c blijkt er uit dat Ook op deze manier blijkt de tijd in het bewegende stelsel langzamer te verlopen dan in het stilstaande stelsel We zijn er hierbij vanuit gegaan dat de afstand AB de lengte van deze bewegende balk niét verandert terwijl hij in de bewegingsrichting wel verandert 2 de Wij constateren dat de tijd langzamer verloopt in het bewegende stelsel dan in het stelsel in rust Als we de cowboys twee van onze perfect lopende klokken hebben meegegeven gaan die dan daadwerkelijk langzamer lopen Hoe kunnen we ons dat voorstellen Dat vraagt nogal wat van je fantasie Het is bovendien complex want vanwege de gelijkwaardigheid van de twee stelsels de symmetrie moeten de cowboys omgekeerd ook onze klokken langzamer zien lopen Kan dat wel Is dat niet in strijd met elkaar of is het gezichtsbedrog Het antwoord luidt uiteraard Het is de harde realiteit We zullen nu laten zien aan de hand van een voorbeeld hoe het mogelijk is dat wij hun klokken langzamer zien lopen terwijl zij onze klokken langzamer zien lopen We gaan uit van twee zeer lange balken zie fig 2 25 De bovenste lijn 1 is de stilstaande balk met het nulpunt P in de oorsprong De tijd voor het hele stelsel is t 0 Lijn 2 stelt de bewegende balk voor met het nulpunt A in de oorsprong Deze balk heeft een snelheid v 0 6 c m s 0 6 maal de lichtsnelheid parallel aan de stilstaande balk De tijd geven we aan met t Als P en A elkaar passeren geldt voor beide punten de tijd t t 0 sec Voor het stilstaande stelsel is dit de tijd voor het gehele stelsel voor het bewegende stelsel geldt deze tijd alleen in het punt A De tijd in het bewegende stelsel gaat bovendien trager met een factor 0 8 In het stilstaande stelsel plaatsen we klokken op een afstand van 0 6 c meter Dus iedere hele seconde in het stilstaande stelsel passeert het punt A een volgende klok in het stilstaande stelsel In het stelsel in beweging staan ook ten opzichte van A klokken op een onderlinge afstand van 0 6 c m Omdat afstanden korter zijn als je ze beziet vanuit het stelsel in rust is de onderlinge afstand volgens ons 0 8 0 6 c 0 48 c meter De tijden die de klokken op de bewegende balk aangeven op het moment dat A het punt P passeert zijn er bij geschreven We spreken af dat op het tijdstip t 0 ook t 0 Het punt B bijvoorbeeld dat op 0 48 c meter op A voorligt in de bewegingsrichting heeft de tijd τ 0 36 seconde Dit kan vlot worden berekend met de formule te vlug geschoten Voor velen zal het blijven wringen dat de klokken waar verschillende tijden bij staan geschreven toch gelijklopende klokken zijn De oorzaak zit er in dat wij vanuit het stilstaande stelsel de klokken volgens ons gelijktijdig aflezen maar volgens de cowboys lezen we ze niet gelijktijdig af klok B lezen we 0 36 sec eerder af dan klok A Dit brengt ons op de vraag wat de tijd van het bewegende stelsel precies is Welke klok moeten we daarvoor aflezen We spreken af dat de tijd van klok A de tijd van het stelsel in beweging weergeeft Op het tijdstip t t 0 hebben beide stelsels dezelfde tijd Lijn 3 geeft de situatie aan na 1 seconde A passeert dan de klok bij Q die dan uiteraard 1 seconde aangeeft Maar de klok van A is langzamer die geeft 0 8 seconde aan Van enige punten staat de tijd erbij geschreven te vinden door bij de tijden van de tweede lijn 0 8 sec op te tellen Maar voor de tijd van het stelsel in beweging geldt de tijd van klok A de tijd loopt er achter Na precies 4 seconde zie lijn 4 passeert klok A zie lijn 5 voor de vierde keer een klok R Die geeft aan 4 seconde De klok van A geeft dan aan 3 2 seconde Ten bewijze hiervan maken we een flitsfoto waar beide klokken op staan als ze elkaar passeren Klok A loopt achter op R en dus op alle klokken van ons stelsel want onze klokken lopen gelijk De tijd van het bewegende stelsel loopt trager dan onze tijd De situatie vanaf de bewegende balk bekeken ziet er anders uit maar eigenlijk hetzelfde Als we de bewegende balk lijn 5 met A en B als het rustende stelsel accepteren let op de

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%202plus.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive



  •