archive-nl.com » NL » E » EINSTEINGENOOTSCHAP.NL

Total: 59

Choose link from "Titles, links and description words view":

Or switch to "Titles and links view".
  • Uitleg §3 Wiskunde
    gebeurtenis P in twee stelsels waarvan de assen niet samenvallen Om te beginnen stelt Einstein moeten de vergelijkingen lineair zijn omdat we ruimte en tijd als homogene grootheden zien Even een stukje toelichting Met homogeen wordt bedoeld dat afstand en tijd in de gehele ruimte gelijkmatig zijn verdeeld Er zijn dus geen gebieden waar alles vlugger of langzamer gaat en er zijn geen gebieden waar alles kleiner of groter is Overigens zou dat moeilijk te constateren zijn als je er zelf deel van uitmaakt en de veranderingen geleidelijk zouden verlopen Het is dus een veronderstelling Hoe het ook zij in onze ervaring heeft niets de laatste eeuw op het tegendeel gewezen terwijl we toch een behoorlijke afstand door de ruimte en in de tijd hebben afgelegd De komende afleiding is dus geldig voor ruimte en tijd die gelijkmatig zijn verdeeld Een beetje wantrouwen is op zijn plaats want we hebben al gezien dat afstand en tijd in een bewegend stelsel vreemd doen en met onze huidige kennis weten we ook dat nabij zware massa s de tijd en de ruimte beslist niet homogeen zijn Het homogeen zijn betekent tevens dat als de tijd in het stelsel in beweging op een bepaald punt sneller of langzamer is dan de tijd in het stelsel in rust dat de tijd dan in het eerste stelsel overal in dezelfde mate sneller of langzamer moet zijn ten opzichte van het stelsel in rust want dan alleen blijft de homogeniteit behouden Hetzelfde geldt voor de ruimte Maar voor dergelijke uniforme vergrotingen of verkleiningen heb je lineaire vergelijkingen nodig Die zorgen voor een gelijkmatige omrekening van het ene stelsel naar het andere stelsel Een lineaire vergelijking wat was dat ook weer De algemene vorm kan je schrijven als y a x b Als je dit in een grafiek weergeeft verkrijg je een rechte lijn De richtingscoëfficiënt van de lijn is het getal a waarmee wordt aangegeven hoeveel y verandert als x met het getal één toeneemt Het getal b geeft het snijpunt met de x as Voorbeeld y 0 5 x 1 zie fig 3 06 Fig 3 06 Een lineaire functie In de figuur is de functie y 0 5 x 1 weergegeven Bij iedere waarde van x hoort een waarde van y Als je van een x waarde uitgaat trek je een verticaal lijntje tot je de schuine lijn snijdt en daarvandaan trek je een lijn in horizontale richting tot je de y as snijdt Het laatste snijpunt is de y waarde die bij de x waarde hoort Wanneer je dit doet voor verschillende x waarden die op gelijke afstanden van elkaar liggen dan vind je y waarden die ook op gelijke afstanden van elkaar liggen In ons plaatje liggen de y waarden dichter bijeen dan de x waarden Hier heb je te maken met een verkleining en die geldt overal waar je de x waarden ook kiest de bijbehorende y waarden liggen dichter bij elkaar Wanneer de schuine lijn onder een hoek van 45 º loopt zijn de afstanden op beide assen gelijk en als de functie steiler loopt liggen de y waarden verder uiteen en kan je over een vergroting spreken In ieder geval blijft de homogeniteit behouden Nu vlug terug naar Einstein want hij wil iets vertellen Probeer je eens een stilstaand punt x in stelsel k voor te stellen oppert hij Figuur 3 07 Hier heeft x een vaste plaats in stelsel k maar het beweegt in stelsel K Je moet dus in gedachten meekijken met het stelsel k waarin x stilstaat Welke waarde x heeft doet er helemaal niet toe Omdat het stelsel k met een snelheid v langs de x as van het stelsel in rust K beweegt geldt voor de x waarde van dit punt in stelsel K als je de blik op stelsel K gericht houdt x v t x Deze formule geldt als je de twee oorsprongen op t 0 laat samenvallen Op t 0 geldt dan x x Uit x v t x volgt x x v t Omdat x constant is het is een stilstaand punt in het stelsel k kan de waarde x niet afhankelijk van de tijd zijn De term v t wordt kennelijk gecompenseerd door de waarde van x De y waarde en de z waarde van dat punt zijn eveneens constant gelijk aan 0 omdat het punt geen beweging vertoont in die richtingen Het stel coördinaten x y z is dus onafhankelijk van de tijd Houd dat in gedachten en knoop het in uw oren En nu komt er een stuk wiskunde Wees niet bang er kan niets gebeuren Het duurt ook niet lang één bladzijde maar bij Einstein Hij wil dat twee klokken in het stelsel in beweging gelijk worden gezet namelijk een klok die in de oorsprong wordt gezet van het stelsel in beweging en een klok bij het punt x Terwijl onze trouwe cowboys op de balk al voorbereidingen treffen om via heen en weer gaande lichtstralen de klokken gelijk te zetten laat Einstein weten dat we het probleem theoretisch aanpakken Er zal worden gedifferentieerd En niet zo zuinig Hij wil ons zeker imponeren Maar moeten wij dat ook kunnen vraagt een teamlid timide Niet twijfelen wij kunnen het ook Kop op je krijgt de nodige aanwijzingen en je komt er wel door We zullen langs afgronden gaan we springen over rotsspleten en af en toe moeten we ons met een touw uit de nesten helpen Maar het lukt je Eerst moeten we begrijpen dat een gebeurtenis een gebeurtenis blijft vanuit welk stelsel je het ook bekijkt Bijvoorbeeld het terugkaatsen van een lichtsignaal tegen een spiegeltje We hebben gezien dat je kunt discussiëren over het tijdstip en over de afstand iemand uit het ene coördinatenstelsel geeft andere waarden aan de plaats en de tijd dan iemand uit het andere stelsel maar de gebeurtenis zelf wordt niet betwijfeld Van de twee stelsels is op ieder tijdstip precies bekend waar ze zich ten opzichte van elkaar bevinden Daarom kunnen de plaats en tijd de coördinaten van het ene stelsel uitgedrukt worden in de plaats en de tijd van het andere stelsel Dat is wat we gaan doen De coördinaten in het stelsel in rust K zijn x y z en t De coördinaten ξ η ζ en τ in het stelsel in beweging k zijn zoals gezegd uit te drukken in die van K met andere woorden ξ is een functie van x y z en t maar ook η is een functie van x y z en t en ζ is een functie van x y z en t en tenslotte is ook τ is een functie van x y z en t We schrijven dit als ξ x y z t η x y z t ζ x y z t τ x y z t In plaats van x gaan we x gebruiken dat een vast punt in het stelsel in beweging k was Dat kan omdat op ieder tijdstip t precies bekend is welke afstand er tussen x en x zit Er geldt x v t x dus x x v t Hieruit volgt dat als je de coördinaten in het stelsel k uit kan drukken in x y z en t dan kan je ze ook in x y z en t uitdrukken Eigenlijk stappen we nu in gedachten over op een met k meebewegend stelsel waarbij x de waarde behoudt die we waarnemen vanuit het stelsel in rúst Zo bekijken we als het ware van dichtbij hoe de coördinaten van het ene en het andere stelsel van elkaar verschillen We gaan nu de volgende functies onderzoeken ξ x y z t η x y z t ζ x y z t τ x y z t De tijd τ is het tijdregiem van het bewegende stelsel en welke tijd er heerst wordt aangegeven door de klokken die daar gelijklopen De klokken zijn identiek aan de klokken van het rustende stelsel dus voor iemand in het stelsel in beweging gaan ze even snel als zo n zelfde klok in het stelsel in rust voor iemand uit het stelsel in rust Ook een muntje valt in het stelsel in beweging even snel op de grond als in het stelsel in rust Maar als iemand vanuit het stelsel in rust naar de klokken van het stelsel in beweging kijkt dan kan hij ze maar niet gelijk zien lopen Hoe hij ook kijkt Het is niet te verteren maar het is waar Het muntje valt evenmin op de normale wijze maar dat accepteren we sneller omdat we bekend zijn met de kogelbaan van een vallend muntje in een rijdende trein dat is zeker geen rechte verticale lijn We zullen eerst τ als functie van x y z t onderzoeken Zet in het stelsel in beweging de klokken gelijk volgens de bekende procedure en zoek uit hoe de coördinaten van het ene stelsel samenhangen met die van het andere Dat is de opdracht van Einstein Daar moeten we het mee doen We staan er helemaal alleen voor Maar de cowboys hebben er zin in Vanuit de oorsprong van het stelsel in beweging vuurt cowboy A op tijdstip τ 0 langs de ξ as een lichtsignaal naar x af dat daar op het tijdstip τ 1 door cowboy B wordt weerkaatst om op het tijdstip τ 2 weer in de oorsprong aan te komen Als de klokken gelijklopen moet gelden ½ τ 0 τ 2 τ 1 Dan doet het lichtsignaal in het stelsel in beweging even lang over de heenweg als over de terugweg Zo zet je klokken gelijk Terug Einstein springt in zijn artikel als een berggeit over de problemen heen maar laten wij het wat rustiger aan doen Wij zullen de berekening met kleine tussenstapjes volgen We bekijken eerst de tijdstippen van vertrek weerkaatsing en aankomst van het lichtsignaal gezien vanuit het stelsel in rust Omdat τ zoals we hebben laten zien een functie is van x y z en t kunnen we τ met deze coördinaten beschrijven dat wil zeggen zodra we de waarden van x y z en t kennen is de waarde van τ ook bekend In de vergelijking ½ τ 0 τ 2 τ 1 is τ 0 de tijd die je krijgt als je de beginwaarden van x y z en t invult τ 1 krijg je door de waarden van x y z en t in te vullen op de plaats en de tijd van de weerkaatsing en τ 2 wordt gevonden door de waarden van x y z en t in te vullen voor de plaats en tijd bij terugkomst van het signaal We zoeken dus de waarden van x y z en t op die drie verschillende momenten Om te beginnen noemen we het tijdstip waarop cowboy A de lichtstraal naar B zendt het tijdstip t Op de klokken van de cowboys is dat het tijdstip τ 0 Wat kunnen we over τ 0 vertellen Voor de oorsprong van het stelsel k geldt x 0 Bedenk dat x een vast punt in het stelsel in beweging is Als je voor dat vaste punt de plaats neemt waar het lichtsignaal vertrekt of aankomt de oorsprong dan geldt voor dat punt x 0 Het punt waar het lichtsignaal wordt weerkaatst noemen we voor het gemak gewoon x De waarden 0 en x zullen we gebruiken plus de waarden van y en z die gewoon 0 zijn omdat het hele gebeuren zich langs de x as afspeelt De tijd bij de start is eenvoudig t zo hebben we het begintijdstip genoemd De algemene vorm τ x y z t kunnen we nu veel preciezer opschrijven voor het begintijdstip τ 0 door gebruik te maken van de waarden voor x 0 y 0 en z 0 Zo vinden we τ 0 τ 0 0 0 t 1 ste term Valt er over τ 1 ook iets meer te zeggen Bij de weerkaatsing heeft de tijd in ons stelsel de waarde t x c v omdat het licht vanuit het stelsel in rust bezien er x c v seconde over doet om van cowboy A naar cowboy B te gaan De weerkaatsing vindt plaats in het punt x dat is de waarde op het moment τ 1 van de eerste coördinaat De x en y coördinaat blijven weer gewoon 0 Zo mogen we voor τ 1 schrijven 3 de term We pakken τ 2 op dezelfde manier aan Voor de terugweg komt er nog eens x c v aan tijd bij zodat het tijdstip van terugkomst wordt t x c v x c v De plaats is dan weer gewoon 0 omdat de lichtstraal terugkeert in de oorsprong Zo kan τ 2 worden geschreven als 2 de term Dit zijn de termen op blz 896 en 897 van Einsteins artikel Wanneer je deze termen invult in de vergelijking voor de tijden in het stelsel in beweging ½ τ 0 τ 2 τ 1 krijg je Dit noemen we de vervaarlijke vergelijking Dat ziet er niet lekker uit en wat kan je ermee Wat deed Einstein Einstein nam gewoon de afgeleide naar x Toe maar Het moet niet gekker worden Wie nog goed weet wat een afgeleide is wacht op ons bij de volgende rustplek De afgeleide functie Zoals je je herinnert had het begrip veel te maken met de richtingscoëfficiënt de RC en het werd ook wel het differentiequotiënt genoemd Laten we het even in het kort doornemen Het mag niet gebeuren dat één van ons straks zijn grip op de stof verliest en zonder hulp achter moet blijven Als je een functie f hebt van een variabele x geschreven als f x dan kan je voor twee vlak bijeen gelegen punten x 1 en x 2 de functiewaarden f x 1 en f x 2 uitrekenen We geven met Δx spreek uit delta x het verschil x 2 x 1 aan en met Δf x het verschil f x 2 f x 1 Om de richtingscoëfficiënt te vinden bereken je Maar omdat de functie meestal een gebogen vorm heeft mag je de twee punten x 1 en x 2 niet te ver uit elkaar nemen anders wordt het resultaat te onnauwkeurig In figuur 308 geeft de pijl ongeveer de richting aan van de kromme lijn tussen de twee punten x 1 en x 2 Je ziet echter dat de richting van de pijl niet klopt bij x 1 en evenmin klopt bij x 2 Pas als de twee punten zeer dicht bij elkaar liggen valt de richting van de pijl samen met de richting van de kromme Fig 308 Het differentiequotiënt Je kan die punten net zo dicht bij elkaar nemen als je zelf wil Je moet ze alleen niet boven op elkaar nemen want dan heb je geen verschillen meer dan valt er niets meer uit te rekenen Over de vraag hoe dicht de punten uiteindelijk bij elkaar moeten worden genomen maakt niemand zich druk want ruim van tevoren zien we al aankomen waar het met het quotiënt Δf x Δx op uit zal lopen We nemen de limiet voor Δx gaat naar 0 zo heet het als je Δx steeds kleiner maakt met het volgende symbool Wanneer je de limiet neemt van het genoemde quotiënt ben je aan het differentiëren De verkorte schrijfwijze hiervoor is en de betekenis hiervan is de opdracht Bepaal de afgeleide functie van f x Denk niet dat de letter d hier een functie is die met f moet worden vermenigvuldigd Het geheel is een symbolische schrijfwijze voor het nemen van de limiet van het genoemde quotiënt De bedoeling van het differentiëren is altijd het bepalen van de mate waarin de functiewaarde f x verandert als de variabele x van waarde verandert Op de flanken van de bergen in de figuur verandert de functiewaarde snel een grote waarde voor de richtingscoëfficiënt maar in de buurt van de top en het dal bijna niet een kleine richtingscoëfficiënt Voorbeeld Bepaal van de functie f x 4 x 2 de richtingscoëfficiënt in het punt x 1 Fig 309 De richtingscoëfficiënt In dat punt heeft de functie een waarde f 1 4 1 2 3 We nemen in gedachten langs de x as een tweede punt een klein stukje symbolisch aangegeven met Δx verderop Dat wordt het punt 1 Δx De functiewaarde die daarbij hoort is f 1 Δx 4 1 Δx 2 4 1 2 Δx Δx 2 3 2 Δx Δx 2 Nu stellen we de limiet op Je ziet je rekent de functiewaarden in de twee dicht bijeen gelegen punten gewoon uit de getallen drie vallen tegen elkaar weg je streept Δx zoveel mogelijk weg en die ene Δx die je overhoudt daarvoor neem je de limiet naar nul dat wil zeggen dat Δx nul wordt zodat je 2 overhoudt Dat is het antwoord Negatief de pijl wijst naar beneden Oefening 9 Bepaal zelf de afgeleide van de functie in het punt x 2 Rustplek terug Hier treffen we de groep die het allemaal nog wel zo n beetje wist We gaan weer terug naar de vervaarlijke vergelijking voor τ die we onderhanden hadden Hij bestaat uit drie termen en er doen maar liefst vier variabelen x y z en t aan mee waarbij y en z gelukkig constant de waarde 0 blijven houden Uit de vergelijking willen we achterhalen hoe τ van x en van t afhangt In onze beeldspraak van de cowboys op de balk hoe kan τ even groot voor cowboy A zijn als voor cowboy B als de laatste op verschillende plaatsen op de balk gaat staan waarbij voor ons zowel t door het te vlug geschoten effect als x verschillende waarden aannemen We gaan de drie termen naar x differentiëren waarbij we het pad volgen dat Einstein heeft uitgezet De eerste term het tijdstip van vertrek van het signaal τ 0 0 0 t is in deze vorm alleen maar afhankelijk van t De x de y en de z hebben hier de vaste waarde 0 Het tijdstip t waarop het lichtsignaal werd uitgezonden is volstrekt niet afhankelijk van de afstand x waar cowboy B zich bevindt t en x zijn helemaal onafhankelijk van elkaar en dat maakt het differentiëren naar x heel gemakkelijk τ verandert namelijk niet als x verandert De tweede term het tijdstip in het stelsel in beweging van terugkomst van het signaal in de oorsprong bij cowboy A τ 0 0 0 t x c v x c v is wél afhankelijk van x maar de afhankelijkheid zit niet in de eerste coördinaat want die is 0 maar in de tijdcoördinaat de laatste Als x groter wordt doet het signaal er langer over Hoe kunnen we nu differentiëren Dat vraagt enige uitleg Voor de duidelijkheid geef ik de tijdcoördinaat t x c v x c v voor de duur van de uitleg met het symbool T aan Dus T t x c v x c v De vraag is hoe verandert de tijd τ die het tijdstip van terugkomst van het lichtsignaal aangeeft in het stelsel in beweging als x verandert Daarvoor moet je eerst weten hoe de tijd T verandert als x verandert om vervolgens te bezien hoe de tijd τ in het stelsel in beweging verandert als T verandert We komen hier dus op de merkwaardige vraag hoe de tijd in het stelsel in beweging afhangt van de tijd in het stelsel in rust Wiskundig met de formules die we voor ons hebben is dat niet zo n groot probleem Want hoe je een functie differentieert naar een variabele die zelf weer verstopt zit in een andere functie een zogenaamde samengestelde functie daar is de kettingregel voor uitgevonden Maar laten we proberen het te begrijpen wat leuker is dan het domweg toepassen van formules De mate waarin de tijd τ verandert wordt gevonden door het effect van x op de tijd T te vermenigvuldigen met het effect van T op de tijd τ Waarom vermenigvuldigen Misschien dat oefening 10 dat duidelijk maakt Oefening 10 Ieder uur dat de zon in het voorjaar extra schijnt gaan er 100 mensen meer naar het plaatselijke strand Verder is bekend dat als de temperatuur in het voorjaar gemiddeld 1 C stijgt de zon gemiddeld 50 uur extra schijnt Wat wordt de stijging van het aantal bezoekers van het strand als de gemiddelde temperatuur 1 5 C stijgt 100 1 5 x 50 175 óf 100 x 1 5 x 50 7500 Je kijkt dus eerst naar het effect op het aantal uren zonneschijn en daarna naar het effect op het aantal bezoekers en je ziet wat je ook al met je klompen aan voelde dat het laatste antwoord goed is Dus als we de tweede term naar x willen differentiëren kunnen we het product nemen van een differentiatie van τ naar T en van T naar x Dit wordt de kettingregel genoemd We werken het uit Je gebruikt hier een kromme d de om duidelijk te maken dat bij het differentiëren naar één variabele de andere variabelen constant worden gehouden Je bekijkt dan alleen het effect van die éne variabele op de waarde van de functie De snelheden c en v zijn in dit verband geen variabelen c is constant en v h ó uden we constant dus daar hoeven we ons geen zorgen over te maken Bij wat er nu komt moet je je heel goed concentreren Mobiele telefoon uit Niet kletsen met elkaar We kijken eerst naar de term Ik beweer en ik leg het direct uit Terug De bewering klopt vanwege het volgende beschouw T t x c v x c v We houden x constant dat is de bedoeling van de kromme d s en c en v zijn constant dan kan een verandering van T alleen maar het gevolg zijn van een verandering van t want de rest is constant Onder een verandering van T wordt verstaan hoeveel T groter of kleiner wordt dus niet hoeveel kéér T groter of kleiner wordt Als bij t iets wordt opgeteld komt er bij T evenveel bij Als t anderhalf keer zo groot wordt wordt T niet ook anderhalf keer zo groot Dus T t Een verandering van t heeft eenzelfde verandering van T tot gevolg als de rest constant is Vervolgens kijken we naar de term Deze werken we uit De tijd T t x c v x c v bestaat uit drie termen We passen de regel uit de wiskunde toe dat de afgeleide van een som gelijk is aan de som van de afgeleiden en differentiëren de afzonderlijke termen Het resultaat wordt De eerste term wordt nul omdat t niet afhankelijk is van x zoals we eerder hebben gezegd Die nul laten we verder natuurlijk weg De uitkomst van de tweede en de derde term vind je door te differentiëren Als je weet dat de afgeleide van x naar x gelijk is aan 1 een verandering van x gaat gelijk op met een verandering van x logisch dan zie je het antwoord meteen want x c v verandert natuurlijk veel minder dan x omdat de verandering ook door c v wordt gedeeld De formule die eerder kettingregel is genoemd kunnen we nu met de gevonden resultaten uitwerken We schrijven dit in een andere volgorde om het in overeenstemming te brengen met het linker deel van de vergelijking bovenaan p 899 van het origineel Dus Nu vergeten we de ingevoerde T weer omdat de uitleg is afgelopen Dit was al lastig maar nu komt het moeilijkste obstakel van het eerste deel van deze tocht De derde term na het teken van de vervaarlijke vergelijking Houd de concentratie vast De derde term is het tijdstip τ waarop de lichtstraal bij cowboy B wordt weerkaatst Daarin zit de variabele x zowel in de eerste plaatscoördinaat als in de laatste tijdcoördinaat τ x 0 0 t x c v Wat is hier de invloed van x op de tijd τ We halen de letter T weer tevoorschijn maar nu met een nieuwe inhoud T wordt t x c v We krijgen τ x 0 0 T Je hebt nu te maken met een directe invloed van x op τ via de eerste coördinaat en een indirecte invloed via de laatste coördinaat Hoe verandert τ als x verandert Dat wordt weer aangepakt met de kromme d s waarbij we differentiëren naar de ene variabele terwijl we de andere variabelen constant houden Je kan ook zeggen dat je de verandering van τ bekijkt precies in één richting of langs één coördinaat De afgeleide in de eerste richting langs de x as waarbij de andere coördinaten constant worden gehouden dus ook T constant schrijven we als Hiermee wordt de invloed te vlug geschoten beschreven De y en z coördinaat zijn constant 0 dus de afgeleide in die richting naar x is ook altijd 0 Als we de afgeleide naar de tijdcoördinaat T bekijken houden we die natuurlijk niet constant We nemen dan juist de eerste richting constant We kijken op een bepaalde plaats x en we zoeken de invloed op τ als de tijd die de lichtstraal er over doet volgens ons om van A naar B te gaan verandert door een kleine verplaatsing van het punt x Hier passen we de kettingregel opnieuw toe Met eenzelfde redenering over de gelijke invloed van T op τ en t op τ als bij de tweede term zie aldaar mogen we weer stellen De term T x werken we uit met in gedachten de opmerking dat x en t geheel onafhankelijk van elkaar zijn De verandering van τ wordt de som van de directe verandering door x als plaatscoördinaat namelijk en de indirecte verandering namelijk door zijn effect op de tijdcoördinaat Waarom nu de som Omdat je eerst de verandering van τ bekijkt als x de eerste coördinaat verandert terwijl je de andere coördinaten constant houdt en vervolgens de verandering van τ bekijkt als de laatste coördinaat verandert als gevolg van een verandering van x terwijl je dan de eerste drie coördinaten constant houdt De twee veranderingen hebben geen invloed op elkaar ze werken allebei direct op τ Het zijn twee onafhankelijke effecten op τ en daarom moet je ze optellen Oefening 11 maakt die onafhankelijkheid verder duidelijk Oefening 11 Als de temperatuur in Europa gemiddeld 1 C stijgt komt er via de Rijn 50 m 3 s meer smeltwater uit de bergen van Zwitserland en als het in Europa gemiddeld 1 C warmer wordt valt er tegelijkertijd in het stroomgebied van de Rijn meer regen zodat de Rijn als gevolg daarvan 400 m 3 s meer regenwater afvoert Hoeveel meer water voert de Rijn af als het in Europa gemiddeld 1 C warmer wordt 400 50 450 of 400 x 50 20 000 m 3 s Het eerste antwoord is goed Het is niet zo dat het méér gaat regenen als er meer smeltwater uit de bergen komt noch dat er meer smeltwater uit de bergen komt als het in het stroomgebied meer gaat regenen De twee verschijnselen versterken elkaar niet maar dragen wél beide mee onafhankelijk van elkaar aan een grotere waterstroom in de Rijn Het resultaat van de differentiatie van de derde term levert een bruikbare nieuwe schrijfwijze We mogen de tijdelijke inhoud van T weer vergeten We zetten de resultaten links en rechts van het teken van de vervaarlijke vergelijking bij elkaar Dit is precies de formule die Einstein kort door de bocht had opgeschreven bovenaan p 899 Terug De vergelijking wordt vervolgens herschikt om er een hanteerbare differentiaalvergelijking van te maken We brengen alle termen links van het teken en we tellen de twee τ t termen bij elkaar op Let op de veranderingen van en tekens differentiaalvergelijking Dit is een zeer belangrijke formule Alvorens we ermee verder gaan maakt Einstein twee opmerkingen De eerste is dat de lichtstraal niet perse uit de oorsprong had behoeven te worden verzonden om dit resultaat te bereiken Dat de vergelijking dus voor iedere waarde van x y z geldig is Hoe duiden we deze opmerking Indien we voor de x coördinaat in plaats van 0 een andere vaste waarde x 0 kiezen en evenzo voor de y coördinaat en de z coördinaat de vaste waarden y 0 en z 0 kiezen kunnen we dezelfde wijze van differentiëren op de vergelijking toepassen Juist omdat x 0 en y 0 en z 0 vaste waarden zijn leveren ze geen bijdragen bij het differentiëren naar x De tweede is dat we tot nu toe de coördinaten y en z constant hielden Daarom speelden ze geen rol We onderzoeken toch even hoe de tijd τ van de coördinaten y en z afhangt door ook in die richtingen een lichtstraal af te vuren Die afhankelijkheid is nul komma nul zegt Einstein Dat willen we wel eens zien en we controleren het voor de verticale richting zie figuur 310 We sturen een lichtsignaal langs de ζ as van het stelsel in beweging naar een spiegeltje in het punt z en weer terug Vanuit het stelsel in rust gezien vormt de weg van het lichtsignaal een gelijkbenige driehoek omdat het stelsel in beweging zich verplaatst tijdens de reis van het lichtsignaal Bij de schuin staande benen van de driehoek hoort de snelheid c De snelheid in de ζ richting van het lichtsignaal is Via dezelfde aanpak die tot de vervaarlijke formule leidde verkrijgen we dan de vergelijking Fig 3 10 Het lichtsignaal gaat van O naar z en weer naar O Het stelsel beweegt met snelheid v Differentiëren naar z levert Als je tegen elkaar wegstreept wat links en rechts gelijk is aan elkaar houden we over Er is géén afhankelijkheid Op identieke wijze vinden we Einstein heeft gelijk alweer De tijd τ hangt niet af van y of z We gaan terug naar de differentiaalvergelijking Einstein poneert vervolgens boudweg dat vanwege de aanname dat de functie τ lineair was de functie de volgende vorm moet hebben een oplossing Hoe komt hij daarbij Hierin is a een constante factor niet afhankelijk van v of van x Als je namelijk een functie voor τ hebt gevonden die aan de differentiaalvergelijking voldoet een oplossing dan voldoet een functie die a keer zo groot is ook omdat beide afgeleiden in de differentiaalvergelijking dan a keer zo groot worden Verder is het een kwestie van stomweg controleren of de oplossing voldoet door τ te differentiëren naar x en naar t en te onderzoeken of het klopt Verdraaid als je dat invult in de differentiaalvergelijking dan klopt het Doe het even Je ziet tevens dat a voor spek en bonen meedoet Dus het klopt Het is een oplossing van de vergelijking Je ziet bovendien dat in de oorsprong x 0 op het tijdstip t 0 ook geldt τ 0 Dat is een keuze om de optredende integratieconstante gelijk aan nul te krijgen erg handig en dat mag omdat je ieder tijdstip altijd als nulpunt voor de tijd kan kiezen behalve in de kosmologie Het absolute nulpunt van de tijd de oerknal is voor het dagelijks gebruik te onnauwkeurig en het rekent lastig Je bent geneigd te denken dat de factor a wel gelijk zal zijn aan één zodat hij lekker makkelijk wegvalt maar Einstein toont aan dat hij juist niet gelijk is aan één Heel essentieel Laten we eerst eens kijken waar Einstein naartoe wil Zoals je weet was x een vast punt in het stelsel in beweging waarvan de plaats verder niet was vastgesteld Er gold x x v t Als we dit in de formule van τ voor x invullen verkrijgen we een uitdrukking voor τ de tijd in het stelsel in beweging die alleen nog maar afhangt van de coördinaten x en t uit het stelsel in rust Daar moeten we naartoe want dan hebben we een brug geslagen tussen de twee stelsels dus We zien hoe de tijd τ afhangt van de tijd t en de plaats x in het stelsel in rust De coördinaat voor de tijd τ in het stelsel in beweging is nu geheel uitgedrukt in de coördinaten voor tijd t en plaats x van het stelsel in rust Dat is de bedoeling De volgende stap is erachter te komen hoe de ξ co ördinaat in het stelsel in beweging afhangt van de coördinaten x y z t in het stelsel in rust Laten we Einstein volgen Hij laat hier een prachtige gedachtegang zien voor de bepaling van de ξ coördinaat In het stelsel in beweging heeft de lichtstraal namelijk ook de snelheid c Op het moment dat de lichtstraal uit de oorsprong van het stelsel in beweging vertrek vallen de oorsprongen samen en er geldt in dat punt t τ 0 De plaats die de lichtstraal bereikt na een tijd τ de tijd in het stelsel in beweging is ξ c τ Het tijdstip in het punt ξ is dan τ Nemen we voor ξ het punt x dan mogen we voor τ schrijven waarbij t de tijd is die de lichtstraal er volgens ons over doet om het punt x te bereiken Zo krijgen we Terug We mogen t vervangen door de tijd die de lichtstraal er volgens ons over doet namelijk Dat vullen we in en we werken het direct uit Bedenk dat c v c v c 2 v 2 Ook hier kunnen we x x v t invullen zodat ξ net als τ uitsluitend in coördinaten van het stelsel in rust is uitgedrukt en dan rolt de volgende formule uit de bus Dat gaat goed We hebben al twee van de vier coördinaten te pakken namelijk τ en ξ en die andere twee namelijk η en ζ dat moet een makkie zijn We komen er aan Als we in de η richting een lichtstraal tot een bepaald punt η verzenden dan geldt voor die afstand η c τ Voor τ vullen we de formule in die x bevat en omdat x 0 het is immers een beweging langs de η as volgt er uit Het punt η komt natuurlijk overeen met een of ander punt y in het stelsel in rust Vanuit het stelsel in rust gezien is de tijd die het licht erover doet om dat punt y te bereiken vergelijk figuur 310 Dus als we t invullen in de uitdrukken voor η krijgen we Op dezelfde manier wordt de uitdrukking voor de ζ richting verkregen We hebben ze Alle vier Er moet alleen nog wat aan worden geschaafd maar we zijn door het moeilijkste heen Gefeliciteerd Wat een zware afleidingen Het leek wel een bergetappe We hebben Einstein goed kunnen volgen en we laten hem niet meer ontsnappen We raken er steeds bedrevener in Einstein moet niet denken dat wij hem niet zouden begrijpen Dan kent ie ons nog niet Hij is nog niet van ons af Op ons gemak zetten we de formules die we tot nu toe hebben gevonden bij elkaar Om de overzichtelijkheid te bevorderen schrijven we in de vorm De formules om de coördinaten van het stelsel in rust om te zetten in die van het stelsel in beweging zijn de transformatieformules Hier zijn ze Je denkt dat je er al bent maar de constante a moet nog worden bepaald Einstein gaat ons al voor Hij maakt een geniale gedachtesprong om de waarde van a te achterhalen Hoogste tijd om de achtervolging in te zetten Uit de manier waarop de factor a bij de formule voor τ opdook blijkt dat hij constant is voor tijd en plaats maar hij zou een functie kunnen zijn van v want bij de eerdere bewerkingen werd er niet naar v gedifferentieerd zodat een dergelijke afhankelijkheid niet tot uiting kon komen Einstein stelt ten bate van de overzichtelijkheid het volgende voor Als je die term vervangt door het symbool γ gamma en je vervangt door de functie φ v dus φ v a γ dan worden de formules een stuk eenvoudiger Dus met en φ v a γ verkrijg je De vraag over de betekenis van de factor a is nu

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%203.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive


  • Uitleg §4 Effect op lengte en tijd
    gaat de tijd bij de aarde juist tweederde zo snel als bij hen Dus trager Alles gaat bij de aarde anderhalf keer zo traag volgens de cowboys Ook de omwenteling van de aarde Zij zien met hun klok in de hand dat de aarde in 36 uur om zijn as draait Vanaf de aarde hebben wij hun meting gevolgd omdat de cowboys zo vriendelijk waren een fotoserie toe te zenden van de ronddraaiende aarde met de tijdaanwijzingen van hun klok Zijn ze nou gek geworden is onze eerste reactie zo langzaam draait onze aarde niet dat weet iedereen Ze halen een geintje met ons uit Tenzij een seconde daar slechts 2 3 van onze seconde is Hun klokken zouden dan sneller tikken dan bij ons Zo kan je aan 36 uur komen Nou wij weten wel beter het is net andersom Hun klok tikt trager dan de onze Hun wereld is vertraagd volgens onze opvatting en onze wereld is vertraagd volgens hun opvatting Het lijkt op de ongrijpbare eeuwig stromende waterval in de gravure van Maurits Cornelis Escher de kunstenaar die graag in het platte vlak de draak stak met de driedimensonale wereld Deze tekening geeft daar een idee van Figuur 403 Een onmogelijke waterval In de paragraaf Uitleg 2plus is dit probleem al aan de orde geweest Daar ging het om twee zeer lange balken die met een snelheid van 0 6 x lichtsnelheid langs elkaar schoven Nu echter gaat het om twee punten klokken die op grote afstand langs elkaar vliegen De ene klok loopt achter op de ander terwijl de andere klok achter loopt op de één Ra ra hoe kan dat Het probleem is hetzelfde De ene klok bevindt zich in een ander stelsel dan de andere De tijd van elk van beide stelsels is de tijd die wordt aangegeven door de klok die zich in de oorsprong van het betreffende stelsel bevindt De klokken worden op zeker moment gelijk gezet Op dat tijdstip geldt t τ 0 De redenering blijft als je met de ene klok meebeweegt loopt de andere klok achter en omgekeerd Nog even nababbelen Het is waar dat de cowboys onze aarde langzamer zien draaien Ze vatten hun stelsel als het stelsel in rust op Volgens hen lopen onze klokken langzamer Hun klok meet 36 uur tijd voor één draaiing van de aarde de onze 24 uur Zij nemen vanuit hun stelsel een langzaam draaiende aarde waar Een aardse seconde duurt volgens hen anderhalve seconde Volgens de cowboys gaan wij minder snel door de tijd heen Stel dat de cowboys er met dezelfde snelheid met een tweelingplaneet aarde vandoor waren gegaan Een planeet die ook in 24 uur om zijn as draaide Wij zouden hun planeet ook in 36 uur rond zijn as zien draaien Een cowboyseconde duurt volgens ons dan anderhalve seconde Precies andersom dus Volgens ons gaan de cowboys minder snel door de tijd heen Het heeft iets weg van een verkleinende lens Of je er van de ene kant doorheen kijkt of van de andere kant het achterliggende is altijd verkleind Het is raar spul die tijd Terug Om precies te kunnen berekenen hoeveel de klok in het stelsel in beweging langzamer loopt dan de klok in het stelsel in rust schrijft Einstein het resultaat iets anders op Hij telt er t bij op en trekt er t van af t t 0 dus dat mag Het maakt niks uit Maar hij doet er wel iets mee hij brengt t in de tweede en de derde term buiten haakjes en zet die t daarna helemaal achteraan Hiermee kan hij ons precies vertellen hoeveel de klok na één seconde achterloopt Hij vult daartoe t 1 in voor de tijd t Hoeveel loopt de klok in het stelsel in beweging nu na 1 seconde achter Nou precies de hoeveelheid tijd die tussen haakjes staat want dat wordt van die voorste 1 afgetrokken zoveel loopt die klok dus achter seconde Zolang we met snelheden te maken hebben die ver onder de lichtsnelheid blijven is v 2 c 2 een klein getal veel kleiner dan één Dan krijg je voor de uitdrukking een goede benadering aangegeven met het teken met Dit kan je aantonen met een reeksontwikkeling de Taylorreeks Dan blijkt dat de term met en termen met nog hogere machten van worden verwaarloosd We kunnen de benadering ook aanschouwelijk maken Wandel even mee langs de meetkundige route De hieronder getekende driehoek ABC fig 404 heeft de bekende verhoudingen de schuine zijde AC 1 de korte rechthoekzijde en de lange rechthoekzijde We cirkelen de lange rechthoekzijde om tot deze de schuine zijde snijdt Dit punt noemen we S De afstand van S tot het hoekpunt C wordt dan door de uitdrukking 1 gegeven Vanuit B laten we vervolgens de loodlijn neer op AC Dat levert het punt L op We vinden nu twee met ABC gelijkvormige driehoeken ALB en BLC waarin ook de bekende verhoudingen gelden Twee driehoeken zijn gelijkvormig als hun hoeken gelijk zijn Het stukje LC heeft daarom de lengte Zoals je kunt zien ligt S daar ongeveer halverwege op Het stukje SC is dus ongeveer ½ waaruit blijkt 1 ½ Dit wilden we laten zien Fig 404 S ligt bij benadering halverwege LC Een klok in het stelsel in beweging loopt langzamer dan een klok in het stelsel in rust Dit leidt tot de gevolgtrekking dat twee gelijklopende klokken die zich in rust op enige afstand van elkaar bevinden niet meer gelijklopen als de ene klok met een snelheid v bij de andere klok wordt gebracht Als de verplaatsing t seconde duurt blijkt de verplaatste klok met ½ t seconde achter te lopen Daar keek zelfs Einstein verrast van op Hij noemt het een eigenaardige consequentie zie de vertaling van 4 Vaak denk je bij deze beschouwingen Wij zien de klok weliswaar trager lopen maar dat is maar schijn want in het stelsel in beweging zelf loopt de klok goed Het is eigenlijk optisch bedrog Niets daarvan De tijd gaat er echt langzamer Als de klok na zijn verplaatsing bij ons is aangekomen merk je dat het ding echt een stukje achterloopt bij zeer nauwkeurig nameten De vraag die bij iedereen vroeg of laat opkomt luidt Dat mag wel zo zijn maar als je meereist met de klok die verplaatst wordt dan moet toch juist de stilstaande klok trager lopen Het gaat toch om relatieve bewegingen Dus als ze weer bij elkaar komen zouden ze allebei ten opzichte van de ander achter moeten lopen dus weer gelijk moeten lopen Dat klopt voor de periode dat de klok in een eenparige beweging is Dan loopt elk van de klokken langzamer dan de andere klok hoe gek dat ook klinkt en ze lopen even snel Indien beide klokken met dezelfde snelheid naar elkaar toe zouden bewegen en op dezelfde wijze afgeremd zouden worden zodat ze naast elkaar zouden komen te staan zouden ze wél gelijklopen Maar als slechts één van de klokken in beweging komt hebben de klokken ook een verschillende geschiedenis De klok die verplaatst wordt heeft eerst een versnelling ondergaan beweegt dan een tijdlang met een constante snelheid en wordt tenslotte afgeremd De andere klok blijft op zijn plaats Dat maakt het hele verschil Einstein bewees dit niet dat bewijs kwam pas jaren later 1 1 De verklaring is pas mogelijk met de Algemene Relativiteitstheorie Uit het feit dat zijn voorbeelden over bewegende klokken niet in strijd zijn met de theorie waarmee hij elf jaar later kwam blijkt dat hij in 1905 al een beeld had over de Algemene Relativiteitstheorie Dat blijkt ook al uit zijn bijdrage aan het Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 4 1907 waar hij op blz 454 voor het eerst de zwaartekracht in de relativiteitstheorie betrekt Dat hij de moed had dit voorbeeld te geven voor hij het kon bewijzen zegt iets over zijn ongelooflijke natuurkundige intuïtie Maar het was bluf Het genoemde artikel is ook vertaald en wel in deze website opgenomen tweelingparadox In zijn algemeenheid wordt dit de tweelingenparadox genoemd de tweeling die met de bewegende klok is meegereisd is bij zijn terugkomst jonger dan zijn ééneiige wederhelft Zo is er nog een paradox schijnbare tegenstrijdigheid die door Ehrenfest hoogleraar te Leiden in 1909 naar voren is gebracht nl een snel roterende schijf krijgt een kortere omtrek terwijl zijn straal gelijk blijft Einstein moest er het antwoord op schuldig blijven maar hij wist in welke richting de oplossing moest worden gezocht Einstein bouwt vervolgens voort op het resultaat en beweert langs zijn neus weg dat je dit resultaat ook krijgt als je de klok via een veelhoek fig 405 van rechte lijnstukken een polygoon naar de ander brengt Zijn snelheid moet wel v blijven en de tijd t is de som van de tijden per lijnstuk Je kan zelfs één klok via een willekeurige weg die uit rechte lijnstukken bestaat net zo lang verplaatsen tot hij weer op zijn oude plek naast de andere klok is teruggekeerd Dan loopt hij eveneens achter met ½ t v 2 c 2 seconde Fig 405 Een weg van rechte lijnstukken Tenslotte neemt Einstein aan dat wat voor een hoekige weg geldt ook wel zal gelden als de weg uit een vloeiende kromme bestaat en hij concludeert daaruit dat een klok op de evenaar achterloopt bij een klok op de pool De klok op de evenaar heeft een snelheid v ongeveer 460 m s ten opzichte van de klok bij de pool Weliswaar in voortdurend veranderende richting maar we nemen op gezag van Einstein aan dat het mag De bewegende klok loopt dus na t seconde met ½ t v 2 c 2 seconde achter Je kan voor de klokken in dit geval zoals Einstein al aangaf geen slingeruurwerk nemen omdat de slingertijd van zo n klok afhankelijk is van de versnelling van de zwaartekracht en die is zoals bekend door de afplatting van de aarde bij de polen groter dan bij de evenaar Bovendien speelt de middelpuntvliedende kracht aan de evenaar mee dus moet je een klok nemen die niet afhangt van de zwaartekracht Zo n klok bestond ook en was gebaseerd op een onrust zo n radertje dat met behulp van een spiraalvormig veertje heen en weer beweegt De uitvinder van de onrust is onze landgenoot Christiaan Huygens 1629 1695 Als je niet weet wat een onrust is maak dan maar eens een oude wekker open of bezoek het Huygensmuseum Hofwijck in Rijswijk bij Den Haag Je zou de klokken ook op een zodanige hoogte kunnen neerzetten dat ze een even sterke versnelling van de zwaartekracht ondervinden Dan maakt het niet uit welk type klok je gebruikt Oefening 14 Laat zien dat een klok op de evenaar na ca 27000 jaar vanwege dit effect pas 1 seconde achterloopt op een klok bij de pool Einstein heeft ons een blik gegund op de mysteries rond lengte en tijd Verwarring is ons deel Wij blijven er nog wat over napraten De vraag is zijn er nog zekerheden in dit leven Jazeker we geven er een paar 1 ste zekerheid klokken die onafhankelijk van elkaar en tegelijkertijd hetzelfde meemaken blijven gelijklopen We hebben drie identieke reiswekkertjes Ze lopen gelijk De ene A wordt in een ruimtevaartuig met grote snelheid v naar links geschoten en de ander B in een ander ruimtevaartuig met dezelfde snelheid v naar rechts Op zeker moment keert hun richting om en ze komen weer met de snelheid v terug naar het achtergebleven klokje C Nadat ze zijn afgeremd worden ze naast C gezet Hun beweging is ten opzichte van C precies gespiegeld verlopen A en B lopen dan achter op C dat is duidelijk maar loopt A achter op B of omgekeerd loopt B achter op A of lopen ze doodleuk gelijk Voordat je gaat twijfelen ze lopen gelijk wat je eigenlijk ook verwachtte Een zucht van verlichting We zien hier een volledig symmetrische situatie dus moeten A en B evenveel achterlopen op C Maar dat is niet zo gemakkelijk uit te leggen Gezien vanuit C lopen de reiswekkers A en B gelijk terwijl toch A een snelheid van bijna 2v ten opzichte van B heeft waaruit je zou moeten concluderen dat A achterloopt op B maar ook is waar dat B een snelheid van bijna 2v heeft ten opzichte van A en dus mag je daaruit concluderen dat B achterloopt op A Beide reiswekkers hebben zich op het eind van de reis in dezelfde mate aangepast door zich weer bij klokje C te voegen en lopen dan onderling weer gelijk maar ze lopen achter bij C Er is maar één conclusie mogelijk tijdens de momenten van versnellen en afremmen doen zich verschijnselen voor die de tijd sterk beïnvloeden Het zinnetje onafhankelijk van elkaar en tegelijkertijd is toegevoegd omdat de twee cowboys na het versnellen van de balk op hun klokken een tijdsverschil aflezen terwijl je zou denken dat ze hetzelfde hebben meegemaakt De versnelling leidt echter tot een zwaartekracht potentiaal die verschillend is voor beide heren We schrijven bijna 2v omdat zoals in 5 zal blijken snelheden niet gewoon mogen worden opgeteld Voor de volgende zekerheid bekijken we een voorbeeld Vanuit het stelsel in rust gezien is de snelheid van de cowboys op de balk gelijk aan v Op t 0 passeert de oorsprong van hun stelsel de oorsprong van ons stelsel Op een afstand van de oorsprong in de richting van de positieve x as van ons stelsel hebben we een merkstreep getrokken Na hoeveel tijd passeert de oorsprong van het stelsel van de cowboys de merkstreep Antwoord gewoon op het tijdstip t v Welke snelheid heeft omgekeerd ons stelsel volgens de cowboys Volgens hen duurt het τ t γ seconde voor de streep wordt gepasseerd Dat is minder tijd Vinden ze dan ook een andere snelheid Deze vraag brengt ons tot de volgende zekerheid 2 de zekerheid de onderlinge snelheid is dezelfde We moeten uitzoeken welke afstand de cowboys in τ seconde moeten afleggen voor de mer kstreep wordt gepasseerd Die afstand is γ want de cowboys kijken naar een afstand in een voor hen bewegend stelsel en nemen die afstand verkort waar Volgens de cowboys bevindt de oorsprong van ons stelsel zich na τ t γ seconde op de plaats ξ γ Er komt een minteken voor omdat ons stelsel voor de cowboys de andere kant op beweegt De snelheid is de afstand gedeeld door de tijd In het stelsel in beweging is de afstand ξ γ en de tijd is τ t γ zodat de snelheid v wordt v ξ τ γ t γ t v t t v De snelheid van beide stelsels is even groot maar tegengesteld van richting Dat is een belangrijke zekerheid In paragraaf 2plus hebben we op principiële gronden al besloten dat de snelheid van de een ten opzichte van de ander gelijk is aan die van de ander ten opzichte van de één en alle afgeleide formules zijn er op gebaseerd dus wat we hier hebben bewezen laat slechts zien wat we er zelf in hebben gestopt Niettemin het is toch goed te weten dat je er niet aan hoeft te twijfelen Probleem 1 Ruimtereizen Hoe lang het duurt voor een ruimteschip een ver verwijderd object bereikt Stel dat we het schip naar een ster op 4 lichtjaren afstand sturen met een snelheid v 0 5 c Een lichtjaar is de afstand is die het licht in een jaar aflegt volgens ons volgens het stelsel in rust Het voorwerp zal er na 8 jaar aankomen gezien vanuit ons stelsel De waarde van γ is bij die snelheid γ 1 1 0 5 2 1 3 4 1 15 Voor het stelsel in beweging is de afstand korter 4 γ 3 46 lichtjaar De snelheid van het stelsel in beweging ten opzichte van ons en de ster die we op het oog hadden is ook 0 5 c zoals we net hebben laten zien De benodigde reistijd voor het ruimteschip is dan 3 46 0 5 6 93 jaar Ruim een jaar sneller Hoe sneller je gaat hoe korter de afstand wordt Bij het lopen van de marathon is dit niet van enige invloed Interessant is ook de vraag wat er onder een lichtjaar moet worden verstaan in het stelsel in beweging Een jaar in het stelsel in beweging duurt als je het vanuit het stelsel in rust beschouwt γ keer langer en de afstand die bij een lichtjaar hoort is dus navenant groter Maar die afstand is vanuit ons stelsel gezien weer γ keer kleiner zodat de bijbehorende afstand voor ons hetzelfde blijft Voor licht zelf is een lichtjaar een oneindig grote afstand omdat voor licht de tijd stilstaat Oefening 15 We sturen een ruimteschip met een snelheid 0 6 c naar een planeet die zich op een afstand van 5 lichtjaren van de aarde bevindt Bij aankomst zal de bemanning een lichtsignaal naar de aarde sturen en direct daarna weer terugkeren a hoelang zal de gehele reis duren volgens ons op aarde Antw 16 67 jaar b hoelang zal de reis duren volgens de bemanning Antw 13 33 jaar c na hoeveel tijd ontvangen wij het signaal Antw 13 33 jaar d met hoeveel jaar is het leeftijdsverschil van ontvangstcomité ten opzichte van de bemanning bij terugkomst toegenomen Antw 3 33 jaar e welke totale afstand heeft de bemanning afgelegd volgens ons en volgens hen Antw 10 lichtjaar respectievelijk 8 lichtjaar De oefening laat zien dat de bemanning na hun ruimtereis niet alleen minder tijd heeft opgesoupeerd maar ook van een kortere weg heeft geprofiteerd Bij terugkomst herstelt de klok zich hij gaat weer even snel lopen als de klokken van de achterblijvers ook het ruimteschip krijgt weer zijn oude lengte terug maar de korting op de tijd die de bemanning heeft gekregen noch de korting op de reisafstand herstellen zich als ze terug zijn in het stelsel in rust Dat pakken we ze niet meer af Probleem 2 Schietgrage cowboys De probleemstelling we vroegen de cowboys om op een afgesproken moment een

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%204.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Uitleg§4plus Verleden, toekomst
    in beweging is het tijdverschil τ Q τ P Oefening 18 Het is niet moeilijk aan te tonen maar probeer het eens dat het laatste tijdverschil γ keer kleiner is dan het eerste precies wat we verwachten want de tijd in het stelsel in beweging is γ keer trager dan de tijd in het stelsel in rust De ξ coördinaat ξ P is constant maar de x coördinaat is dat geenszins Het voorwerp bevindt zich in een vast punt in het bewegende stelsel maar verplaatst zich in het stelsel in rust in de tijd t Q van x P naar x Q Het bevindt zich niet voor niets het stelsel in beweging De afstand van x P naar x Q is gelijk aan v t Q Figuur 418 Stilstaand voorwerp in het stelsel in beweging verplaatst zich in het stelsel in rust Een lijn in een Lorentzdiagram geeft de plaats aan die een voorwerp in de loop van de tijd inneemt in het vlak van ruimte en tijd Zo n lijn wordt een wereldlijn genoemd Een wereldlijn hoeft niet loodrecht op een as te staan dat geldt alleen voor een stilstaand voorwerp en hoeft evenmin een rechte lijn te zijn dat is alleen het geval voor een voorwerp in een eenparige rechtlijnige beweging In dezelfde figuur 418 is met de lijn van R naar S de wereldlijn aangegeven van een voorwerp dat zich dichter bij het nulpunt van de ξ as bevindt dan het punt P Hieruit is te begrijpen dat de wereldlijn van het nulpunt van de ξ as met de t as samenvalt Redenerend vanuit een stilstaand voorwerp op de x as is in te zien dat in het Lorentzdiagram de wereldlijn van het nulpunt van de x as juist op de τ as ligt We bekijken vervolgens zie figuur 419 de wereldlijn van een stilstaand voorwerp op de x as In het Lorentzdiagram bevindt het zich eerst in het punt P en later in het punt Q Als we nu de tijd aflezen tussen de punten P en Q vinden we op de τ as de tijden τ P en τ Q en op de t as de tijden t P en t Q Het blijkt dat het tijdverschil op de τ as groter is dan op de t as De tijd in het stelsel in beweging is groter dan die in het stelsel in rust Dat hebben we nog niet eerder meegemaakt Kennelijk moeten we tegen een stilstaand punt in het stelsel in rust aankijken vanuit het stelsel in beweging Maar dan is het stelsel in beweging bevorderd tot stelsel in rust Dat is de kracht van het diagram er is geen zogenaamd absoluut verschil tussen een bewegend stelsel en een stelsel in rust De rollen kunnen worden omgedraaid Het diagram geeft gewoon twee stelsels weer die ten opzichte van elkaar in een eenparige beweging zijn De coördinaten op de ξ as van P en Q zijn achtereenvolgens ξ P en ξ Q Het stilstaande voorwerp op de x as heeft in de tijd τ Q een weg afgelegd van ξ P tot ξ Q De oorsprong van het bewegende stelsel komt namelijk met een snelheid v naar dat voorwerp toe Bedenk hierbij dat op het moment dat het voorwerp zich in P bevond voor de tijd gold τ p 0 Figuur 419 De wereldlijn van een stilstaand voorwerp op de x as Het volgende Lorentzdiagram figuur 420 laat een voorwerp zien dat met een eenparige snelheid beweegt en in geen van beide stelsels stilstaat Voor ieder punt van de wereldlijn zijn de coördinaten in beide stelsels af te lezen Voor het beginpunt P zijn bijvoorbeeld de coördinaten in het x t stelsel t P en x P en in het ξ τ stelsel τ P en ξ P Vervang de index P door een Q en je hebt de coördinaten van het punt Q De snelheid in ieder stelsel kan worden berekend door de coördinaten van P en die van Q uit het diagram af te lezen Uit het quotiënt van de afgelegde weg en de tijdsduur verkrijgen we de snelheden in elk van de stelsels in het x t stelsel en in het ξ τ stelsel Deze snelheden zijn in het algemeen niet gelijk in grootte denk maar aan een stilstaand voorwerp in het bewegende stelsel dat in het stelsel in beweging geen snelheid heeft en in het stelsel in rust een snelheid heeft die gelijk is aan de snelheid van het stelsel in beweging Figuur 420 Een voorwerp dat in beide stelsels eenparig beweegt We kunnen nu een figuur zoals figuur 411 begrijpen De grondslag wordt gevormd door een Lorentzdiagram in een nog verder geëvolueerde vorm Bekijk maar eens het volgende Lorentzdiagram fig 421 Het punt E 1 stelt een puntgebeurtenis voor Een tweede puntgebeurtenis wordt voorgesteld door het punt E 2 Als we op de t as en de τ as kijken welke tijden bij de puntgebeurtenissen horen dan vinden we dat de tijd t 2 van de tweede gebeurtenis in het x t stelsel ná de tijd t 1 van de eerste gebeurtenis komt Dus in het x t stelsel vindt E 2 ná E 1 plaats Kijken we nu naar de tijden in het ξ τ stelsel dan zien we dat τ 2 vóór τ 1 ligt dus in het ξ τ stelsel vindt E 2 vóór E 1 plaats Deze bevinding geldt voor het gehele grijze gebied boven E 1 In het grijze gebied beneden E 1 geldt het omgekeerde Je ziet hieruit dat niet alleen het begrip gelijktijdigheid relatief is maar ook de begrippen eerder en later Voor goed begrip moet je wel voor ogen houden dat het om twee puntgebeurtenissen gaat die ver van elkaar plaatsvinden Sommigen denken dat als iemand mij een klap geeft en ik sla daarna volgens oud gebruik krachtig terug dit vanuit een stelsel in beweging kan worden gezien alsof ik eerst sloeg en dat ik daarna pas de klap kreeg Zo zit

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%204plus.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Uitleg §5 Optellen van snelheden
    de ene component in de richting van v wordt genomen en de andere er loodrecht op Dat doen we in figuur 503 We verkrijgen de componenten door vanuit de punt van de pijl w twee loodlijnen neer te laten op de horizontale as respectievelijk de verticale as De snelheidscomponent w ξ heeft dezelfde richting als v en vergroot daarmee de snelheid in de richting van v en vermindert die snelheid als w ξ naar links gericht zou staan De verticale component w η draagt bij noch vermindert de snelheid in de richting van v maar voegt een snelheid w η toe in een richting loodrecht op de snelheid v Dat is de snelheid waarmee een schip of een vliegtuig afdrijft van de richting waarin de voorpunt wijst Met w ξ w η en w kan een driehoek worden gevormd met w als schuine zijde en w ξ en w η als rechthoekszijden Volgens de stelling van Pythagoras geldt voor de zijden van de driehoek w 2 w ξ 2 w η 2 Figuur 503 Het ontbinden in componenten Wanneer we nu naar de vectorsom U kijken dan heeft deze twee componenten U x w ξ v de horizontale component van U en U y w η de verticale component van U Ook hier geldt Pythagoras U 2 U x 2 U y 2 w ξ v 2 w η 2 De snelheid U van een vliegtuig dat een snelheid v door de lucht heeft waarbij de lucht zelf met een snelheid w in één of andere richting stroomt ten opzichte van de grondstations wordt dus verkregen met de gebruikelijke manier van vectoriëel optellen gewone vectorsom Terug naar de formules die Einstein had gevonden voor de verplaatsing in het stelsel in rust in de x richting en de y richting en Hieruit halen we de snelheidscomponenten U x en U y door te delen door t en In de originele tekst maakt Einstein gebruik van de afgeleiden en om de snelheidscomponenten te vinden Wij hebben hier de plaats x of y gewoon gedeeld door de tijd t om de snelheidscomponenten U x en U y te vinden Dat mag omdat de termen vóór t niet afhangen van de tijd Ze zijn constant De somsnelheid U is dus te vinden uit de componenten via de stelling van Pythagoras U 2 U x 2 U y 2 en wordt Dat ziet er knap ingewikkeld uit en het wijkt sterk af van de gewone vectorsom die we eerder hadden gevonden Terug De uitdrukking wordt misschien overzichtelijker als we de hoek α er in betrekken de richting van de beweging van het voorwerp in het stelsel in beweging w ten opzichte van de ξ as Einstein heeft het voor ons uitgezocht Het levert een wat andere schrijfwijze op waaraan hij laat zien dat v en w symmetrisch in de formule voor de vectorsom U zijn opgenomen Daarmee is gezegd dat beide snelheden dezelfde rol in de formule spelen voor het resultaat maakt het niet uit of de snelheid v gelijk is aan 100 000 km s en de snelheid w gelijk aan 140 km s of dat v gelijk is aan 140 km s en w gelijk aan 100 000 km s Meer doen we er niet mee Goed voor het archief Einstein kiest vervolgens voor een beweging met α 0 waarmee dit uitstapje overbodig lijkt We zullen zijn berekening volgen maar voor de luiaards onder ons ga verder bij Nu komen we ineens in de goniometrie terecht Wat zijn ook alweer de sinus de cosinus en de tangens Even kort herhalen Figuur 504 Sinus cosinus en tangens In een rechthoekige driehoek zie figuur 504 kan je bij de hoek α de sinus van α aanwijzen als de verhouding van de zijden a c Voor de cosinus van α vind je b c en voor de tangens van α neem je a b Kort genoteerd sin α a c en dus a c sin α cos α b c en dus b c cos α tg α a b en dus a b tg α Omdat in een rechthoekige driehoek de stelling van Pythagoras geldt a 2 b 2 c 2 volgt daaruit de belangrijke goniometrische formule sin 2 α cos 2 α 1 In figuur 505 is de snelheid w van het voorwerp in het stelsel in beweging aangegeven De snelheid w maakt een hoek α met de ξ as Met de definities voor de sinus en de cosinus kunnen we nu voor de componenten van w schrijven w ξ w cos α en w η w sin α Figuur 505 De componenten van w De hoek α is te vinden met de sinus de cosinus of de tangens dat maakt niet uit Omdat we ons richten op de componenten van de snelheid w gebruiken we de tangens de hoek α is te vinden met tg α Dit wordt geschreven als de hoek arc die bij die waarde van de tangens hoort α arctg Hier vinden we een slordigheidje in de originele tekst Een kleine aanwijzing dat Einstein er met zijn gedachten soms niet helemaal bij was maar in plaats van staat er Slordig omdat de hoek α echt b etrekking heeft op de richting van het bewegende voorwerp in het stelsel in beweging Op het resultaat heeft het verder geen enkele invloed typisch Einstein Vervang in de uitdrukking de w ξ en de w η door w cos α en door w sin α Je krijgt de uitdrukking Werk dit uit tot Maak nu gebruik van de bekende goniometrische formule sin 2 α cos 2 α 1 dus w 2 sin 2 α w 2 cos 2 α w 2 zodat je deze twee termen in de formule bijeen kan nemen Als je dit stukje had overgeslagen kan je hier weer inspringen Je hebt niet veel gemist Je krijgt de uitdrukking die bovenaan blz 906 van het origineel is te vinden goniometrische uitdrukking Deze schrijfwijze laat zien dat als je v verwisselt met

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%205.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Uitleg §5plus
    w langs de y as starten Met een passer kan je de afstanden die je vindt optellen en zo kan je som U construeren Het is een heel gedoe maar het klopt In de figuur is een voorbeeld gegeven voor de snelheden v 0 6 en w 0 8 Wanneer je de pijltjes volgt kom je via de hyperbool van v op 1 v daar tel je w bij op Vanuit het gevonden punt w 1 v ga je weer via de hyperbool volg de pijltjes naar 1 w 1 v en die waarde kan je aflezen ongeveer 0 41 Op identieke wijze bepaal je 1 v 1 w en je leest af ongeveer 0 54 De som komt uit op ongeveer 0 95 keer de lichtsnelheid in overeenstemming met de formule waarmee je berekent U 0 946 Figuur 516 De som U geconstrueerd met behulp van een hyperbool Dit maakt een mens al een beetje gelukkig Het is een illustratie fysisch tamelijk ondoorzichtig maar beter iets dan niets We blijven nog even natafelen over de formule Zo n simpele formule moet toch simpel zijn weer te geven Opeens ziet iemand dat alle termen die erin voorkomen ook in het product 1 v 1 w 1 v w v w zijn terug te vinden Een lichte opwinding maakt zich van ons meester Daar moet een diepere betekenis achter zitten Daar kunnen we iets mee In fig 517 laten we zien hoe je het product 1 v 1 w in de vorm van rechthoeken kan weergeven De snelheden v en w zijn willekeurig gekozen tussen 0 en 1 Het getal één wordt gevormd door de oppervlakte van een vierkant met zijden één De snelheden v en w zetten we uit langs de X as en langs de Y as De rechthoek met de zijden 1 v en 1 w kunnen we verdelen in vier rechthoeken met de oppervlakten 1 en v w met grijs aangegeven en de oppervlakten v en w wit Uit dit plaatje zie je nogmaals dat v en w precies dezelfde rol spelen in de formule De verhouding van de witte oppervlakte tot de grijze oppervlakte geeft de getalswaarde van de relativistische som U van twee snelheden volgens de relativiteitstheorie waarbij de snelheden zijn uitgedrukt in de lichtsnelheid Figuur 517 Presentatie van de optelformule via rechthoekige oppervlakten Uit deze presentatie kan je ook goed zien dat de verhouding altijd één wordt indien v of w gelijk is aan 1 dat wil zeggen de lichtsnelheid heeft Maar wat gebeurt er als de ene snelheid de andere kant op is gericht als de andere Dan moet je de kleinste van de snelheden negatief kiezen Je kan dan afspreken dat de oppervlakte w en de oppervlakte v w negatief genomen moeten worden maar de figuur wordt dan ingewikkelder Terug Oefening 25 Probeer op een vergelijkbare manier als in figuur 517 een diagram te construeren waarbij w negatief is ten opzichte van v Nu we een beetje warm zijn gelopen kunnen we

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%205plus.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Uitleg §6 Maxwell
    is dus langs beide cirkelbogen even groot maar tegengesteld van teken want langs de grote cirkelboog doorlopen we de weg in dezelfde richting als de kracht en dat geeft een positieve arbeid en langs de kleine cirkelboog is het andersom Daarom heffen deze twee hoeveelheden arbeid elkaar op Langs de rechte lijnstukken die de twee cirkelbogen met elkaar verbinden wordt geen arbeid verricht omdat de kracht loodrecht op de wegrichting staat Alles bij elkaar betekent dit dat er geen netto arbeid wordt verricht door het veld op dat magneetje Dus de kringintegraal langs de aangegeven weg S van de magnetische veldsterkte is nul In de paragraaf Wervelwinden en draaikolken hebben we de stelling van Stokes genoemd Voor een vectorveld van snelheden gold Voor een vectorveld van magnetische veldsterkten B moet je de stelling van Stokes schrijven als Als de kringintegraal van B gelijk is aan nul zoals we hebben laten zien voor het pad rond het blauwe gebied moet de oppervlakte integraal van rot B ook gelijk zijn aan nul De oppervlakte integraal mag je zien als het product van de oppervlakte en de gemiddelde waarde van rot B Die gemiddelde waarde moet dan nul zijn en omdat het voor ieder oppervlakje buiten de draad geldt volgt er uit dat rot B zelf overal gelijk aan nul moet zijn Het veld vertoont dus plaatselijk geen rotatie Dat gold ook voor de circulatiestroming rond een draaikolk of een windhoos Alleen een kringintegraal rond de stroomdraad levert rotatie op De analogie tussen wervelwinden en dergelijke en het magnetisch veld rond een stroomvoerende draad is frappant Figuur 605 Rotatie van het magnetisch veld Het wordt echter anders als we naar in de tijd veranderlijke magnetische en elektrische velden kijken Er is een wisselwerking tussen beide velden waarbij een verandering van de één een veld van de ander tot gevolg heeft In de derde en vierde vergelijkingen van Maxwell is dat terug te vinden De derde Maxwellvergelijking rot E geeft aan dat een verandering in de tijd van het magnetische veld samengaat en evenredig is met de rotatie van een ter plekke optredend elektrisch veld Er is voor dit elektrisch veld geen elektrische lading ρ als bron aan te wijzen dus div E van dit veld moet 0 zijn De elektrische veldlijnen komen in dit geval in zichzelf terug zoals bij het magneetveld van fig 602 Dit elektrische veld bestaat alleen gedurende de tijd dat het magnetische veld aan het veranderen is Dat is wat er gebeurt als een magneet in beweging wordt gezet dan zal op iedere vaste plaats het magneetveld veranderen waardoor er een elektrisch veld ontstaat zolang de magneet in beweging is Dit is dus gewoon met Maxwell te verklaren en dat deed Lorentz en ook Einstein Uitgeschreven is de rotatie een ingewikkelde uitdrukking Als de drie componenten van het elektrisch veld X Y en Z zijn is rot E rot E Het is een vector De rotatie heeft eveneens drie componenten Het opmerkelijke is dat de x component wordt gevonden uit de afgeleiden van de Y en de Z waarden van het veld de y component wordt gevonden uit de afgeleiden van de Z en de X waarden en de z component wordt gevonden uit de afgeleiden van de X en de Y waarden Dat is het gevolg van de definitie van de rotatievector die loodrecht staat op het vlak dat roteert De rotatievector heeft dus de richting van de rotatie as Het magnetisch veld B is ook een vector en zijn afgeleide naar de tijd is eveneens een vector met een x y en z component De derde Maxwellvergelijking wordt dus De Maxwellvergelijking is een vectorvergelijking waarbij geldt dat de gelijkheid voor elk van de componenten moet gelden De vergelijking bestaat eigenlijk uit drie vergelijkingen tegelijkertijd Bijvoorbeeld voor de x component Op vergelijkbare wijze verkrijg je de vergelijkingen voor de y component en de z component De wisselwerking tussen een elektrisch veld en een magnetisch veld vindt dus zo plaats dat een verandering in de tijd van een component van het magnetisch veld gekoppeld is aan een verandering in grootte van de componenten van het elektrisch veld in het vlak dat loodrecht op die eerste genoemde component van het magnetisch veld staat Dus als de x component van het magnetische veld L verandert is het rechterlid van de laatste vergelijking ongelijk aan nul Dan moeten tegelijkertijd de y en z componenten van het elektrisch veld in het gehele yz vlak zodanige waarden krijgen dat ook het linkerlid ongelijk aan nul is Maar dan bestaat er een x component van een elektrisch veld dat rotatie bezit De vierde vergelijking laat zien dat een verandering in de tijd van het elektrische veld op vergelijkbare wijze een ter plekke optredend magnetisch veld met rotatie oproept Het zou leuk zijn als er een mechanisch equivalent bestond voor deze wisselwerking Tot nu toe heb ik dat niet kunnen vinden Er zijn wel dingen die er op lijken Bijvoorbeeld de bromtol Wanneer je daar op duwt in de z richting gaat de tol ronddraaien in het xy vlak Ook een windmolen lijkt er op een luchtstroom in de x richting leidt tot een ronddraaiende beweging in het vlak daar loodrecht op het yz vlak Het veranderen van een veld kan een gevolg zijn van het zwakker of sterker worden van het veld dan bedoelen we dat het verandert voor de stilstaande waarnemer maar de verandering kan ook het gevolg zijn van een verplaatsing van een waarnemer door een veld heen dan verandert het voor de bewegende waarnemer ook als het voor de stilstaande waarnemer een in de tijd gezien constant veld is Daarbij moet je er van uitgaan dat het veld niét homogeen is dus dat het van plaats tot plaats verschillend van sterkte en richting is Einstein realiseerde zich als eerste ten volle dat het veld voor een bewegende waarnemer er anders uitziet dan voor een stilstaande waarnemer Hoe het er uitziet kan worden vastgesteld door het veld in het stelsel in rust te verplaatsen naar een stelsel in beweging We zullen achterhalen hoe Einstein zijn transformatieformules heeft toegepast We doen dit alleen voor de x component van de vergelijking rot B en werken deze uit van het stilstaande stelsel K naar het bewegende stelsel k zie de vertaling p 907 De elektrische veldsterkte E schrijven we als E X Y Z De drie componenten van de afgeleide naar de tijd van E zijn te vinden door elke component apart te differentiëren De magnetische veldsterkte B schrijven we als B L M N Voor rot B kunnen we dan in uitgeschreven vorm schrijven De gelijkheid rot B moet nu voor elk van de drie componenten gelden dus voor de x component geldt deze noemen we x component Het doet misschien vreemd aan dat als je de elektrische veldsterkte naar de tijd differentieert dit overeenkomt met het differentiëren van de magnetische veldsterkte naar de plaats Is dit een direct gevolg van de verwevenheid van ruimte en tijd Daar denken we over na De laatste vergelijking kunnen we onder woorden brengen wanneer op zekere plaats de sterkte van de x component X van het elektrische veld verandert dan moet dat gepaard gaan met een gelijktijdig verloop in de z richting van de y component M van het magnetische veld én een gelijktijdig verloop in de y richting van de z component N van het magnetische veld op een zodanige manier dat het verschil in verloop tussen die twee evenredig is met de genoemde verandering van de sterkte van de x component van het elektrische veld Toe maar Het heeft met het draaien van het veld te maken Aan de hand van de volgende figuur zullen we dat verhelderen We nemen aan dat het linker lid van de vergelijking kleiner dan nul is dat wil zeggen X neemt af in grootte Ook het rechter lid moet dan negatief zijn Als we nu eens een constante waarde kleiner dan nul kiezen dat wil zeggen dat de z component van de magnetische veldsterkte in de y richting lineair afneemt en we kiezen de term die ervan wordt afgetrokken constant toenemend met een grotere absolute waarde dan de eerste constante dan komen we positief uit het voorbeeld is wat ongelukkig uitgevallen qua richtingen en grootte In fig 606 tekenen we deze veranderlijke componenten M en N als vet getekende pijltjes loodrecht op de y as en de z as Omdat ze slechts in één richting veranderen blijven ze in de andere richtingen constant Daarom kunnen we M en N overal tekenen Als we M en N vectoriëel optellen verschijnt er een magnetisch veld dat rotatie bezit De uitdrukking rot B drukt inderdaad rotatie uit je ziet het gewoon Figuur 606 De x component van rot B Nu we enig zicht hebben op de begrippen divergentie en rotatie die in de Maxwell vergelijkingen voorkomen pakken we de draad weer op Einstein wilde de transformatieformules toepassen op de Maxwellvergelijkingen Uit de relativiteitstheorie volgt dat de vergelijkingen in het bewegende stelsel er net zo uit moeten zien als in het stilstaande stelsel want de natuurkundewetten moeten in beide stelsels op gelijke wijze geldendend zijn Einstein wilde uitzoeken of de formules gelijkvormig zijn en zoniet dan moeten de formules worden aangepast Terug Ter herinnering De transformatieformules naar een stelsel in beweging zien er als volgt uit ζ z met Die gaan we toepassen op de Maxwellvergelijkingen div E 0 div B 0 rot E rot B Einstein schreef het resultaat van de transformatie in één keer op maar dat is wel erg kort door de bocht Wij pakken het een stuk voorzichtiger aan We beperken ons tot de x component en schrijven hem nog een keer op Een van de moeilijkheden die we tegenkomen bij het overstappen van de coördinaten x y z en t naar de coördinaten ξ η ζ en τ is dat het differentiëren naar t y en z zoals in de vergelijking moet gebeuren niet zonder meer te vervangen is door een differentiatie naar de coördinaten τ η en ζ van het bewegende stelsel Je moet er namelijk rekening mee houden zie de eerste transformatieformule dat t van τ én ξ afhankelijk is en omgekeerd dat τ van t en x afhankelijk is Als we in het stelsel in rust onderzoeken hoe de x component van het elektrische veld X afhangt van de tijd t en we gaan dat resultaat vertalen naar het stelsel in beweging dan zullen we ontdekken dat X afhangt van de tijd τ en de plaatscoördinaat ξ De verandering van X als gevolg van een verandering van t moet dan worden gesplitst in de verandering van X als gevolg van de verandering van τ vermenigvuldigd met de verandering van τ als gevolg van een verandering van t plus de verandering van X als gevolg van een verandering van ξ vermenigvuldigd met de verandering van ξ als gevolg van een verandering van t In wiskundige termen deze noemen we patroon Dit werken we uit We kunnen snel zien dat uit de transformatieformule voor τ volgt Toelichting Bedenk dat x constant wordt gehouden als we met de kromme d aan het differentiëren zijn De gehele uitdrukking γ v x c 2 is dan constant De afgeleide van een constante waarde is nul en je houdt over de afgeleide van γ t is gewoon γ Zo volgt uit de transformatieformule voor ξ te weten de afgeleide bedenk dat ook in dit geval x constant wordt gehouden Hiermee wordt deze noemen we borduursel Om dit verder uit te werken maken we gebruik van de wet van Maxwell die als eerste is opgeschreven div E 0 De uitgeschreven vorm in het stelsel in rust staat in het begin van deze paragraaf maar we herhalen hem nog een keer div E Deze kunnen we ook transformeren naar het langs de x as bewegende stelsel Als we de coördinatentransformatie toepassen moeten we opnieuw bedenken dat de x coördinaat van ξ en τ afhankelijk is terwijl voor η en ζ geldt η y en ζ z Op dezelfde wijze als de formule patroon kunnen we voor schrijven Vullen we dit in dan wordt div E Uit volgt voor en uit de transformatieformule volgt voor γ Deze twee afgeleiden vullen we in en zoals we nog weten is div E 0 waarmee we als resultaat krijgen We delen alle termen door γ Vervolgens brengen we alle termen naar de rechterkant behalve Nu kunnen we de formule borduursel helemaal uitwerken Na netjes uitwerken Bedenk dat 1 v 2 c 2 1 γ 2 dus voor geldt Dit laten we even staan pruttelen We richten ons nu op de rechterkant van de vergelijking x component Omdat de transformaties voor y en z luiden η y en ζ z levert dit eenvoudig op Dat is gemakkelijk We kunnen de vergelijking x component dus schrijven als We brengen vervolgens de afgeleiden naar dezelfde variabele η respectievelijk ζ bij elkaar Dit wordt Bedenk dat v c een constante is die we naar believen buiten of binnen de differentiatie kunnen plaatsen Door vervolgens de linker en rechter term te vermenigvuldigen met γ verkrijgen we de eerste getransformeerde uitdrukking op blz 907 van Einsteins artikel Deze uitdrukking hebben we verkregen door uitgaande van een vergelijking van Maxwell in het stelsel in rust voor de x component te onderzoeken hoe die component er in het stelsel in beweging uit moet zien Volgens het relativiteitsprincipe moeten in het stelsel in beweging k dezelfde natuurkundige formules gelden als in het stelsel in rust K De getransformeerde vergelijking ziet er weliswaar op het eerste gezicht nogal anders uit maar daar hebben we het volgende op gevonden We noemen de componenten van het elektrische veld in het stelsel in beweging X Y en Z en de componenten van het magnetische veld L M en N en om te bewerkstelligen dat de bovenstaande uitdrukking dezelfde vorm krijgt als de formule die als uitgangspunt diende stellen we X X N γ M γ Met deze formules kunnen we de verkregen vergelijking schrijven als Halleluja We zien dat we perfect dezelfde vergelijking terugvinden als de uitgangsformule x component maar dan met accenten bij de veldgrootheden De vorm is hetzelfde en daar gaat het maar om Dit hebben we een beetje onzorgvuldig gedaan Einstein laat omstandig zien dat de vergelijking geldig blijft als X N en M alle met eenzelfde factor ψ psi een constante die eventueel afhank elijk kan zijn van de snelheid v worden vermenigvuldigd maar gelukkig toont hij direct aan blz 909 dat deze factor slechts de waarde één kan aannemen Dat doet hij als volgt Stel dat X ψ v X dan wordt als het stelsel in beweging de andere kant op beweegt X ψ v X Wanneer je eerst vanuit het stelsel in rust met de elektrische veldsterkte in de x richting X overstapt naar een stelsel in beweging met sne lheid v en daarvandaan weer op een stelsel in beweging met snelheid v dan ben je terugbelandt in het stelsel in rust Dan moet gelden X X ψ v ψ v X Dus ψ v ψ v 1 Daarmee zijn we er niet want uit symmetrieoverwegingen moet ψ v g elijk zijn aan ψ v Dat moet je zo zien Als je naar het stelsel in beweging kijkt dan beweegt het bijvoo rbeeld naar rechts langs de positieve x as Als ψ v groter is dan één dan nemen we X als groter dan X waar Wanneer het stelsel naar links beweegt moet X worden vermenigvuldigd met ψ v 1 ψ v dus met een getal kleiner dan één dus X is dan kleiner dan X Wanneer je vervolgens aan de andere kant van het stelsel in beweging gaat staan dan beweegt het naar rechts Enerzijds zou X dan groter moeten zijn dan X maar aan de andere kant moet het kleiner zijn dan X Deze tegenstrijdigheid wordt opgelost als ψ v ψ v In combinatie met ψ v ψ v 1 levert dat op ψ v ψ v 1 In het origineel zie je dat de drukker van blz 908 naar blz 909 van de letter ψ overstapt op de letter φ misschien waren zijn lettertjes op In de vertaling zijn we daarin niet meegegaan Dezelfde aanpak kan je ook gebruiken voor de vijf andere vergelijkingen van blz 907 Dan vind je ook de andere formules voor de componenten van het elektrisch en het magnetische veld De net gevonden formules voor N en M kom je daarbij nog een keer tegen een aardige controle Zo verkrijg je het resultaat van blz 909 voor de drie componenten van het elektrische veld en de drie componenten van het magnetische veld X X L L Y γ Y N M γ M Z waarbij γ Z γ Z M N γ N Y Einstein heeft hiermee aangetoond dat voor het elektrische en het magnetische veld in het stelsel in beweging de bovenstaande getransformeerde velden moeten worden gebruikt Dan blijven namelijk de natuurkundewetten de Maxwellvergelijkingen geldig zoals het relativiteitsprincipe vereist De Maxwellvergelijkingen behouden hun vorm in universiteitstaal de formules zijn covariant onder de Lorentztransformatie Dit in tegenstelling tot de mechanicawetten van Newton zoals bijvoorbeeld de som van twee snelheden U v w zie 5 waarvoor Einstein de verbeterde formule moest opstellen om te zorgen dat de formule covariant onder de Lorentztransformatie zou zijn Het is een verbijsterende constatering dat juist Newton moet sneuvelen Dat de somformule voor snelheden die Einstein heeft opgesteld wél covariant is onder de Lorentztransformatie spreekt vanzelf want hij werd met die transformatieformules afgeleid Een paar opmerkingen In de voortbewegingsrichting van het stelsel in beweging verandert de x component van het elektrische veld niet en evenmin die van het magnetische veld Een deel in de verhouding v c van het magnetische veld in het vlak dat loodrecht staat op de voortbewegingsrichting gaat in het stelsel in beweging deel uitmaken van het elektrische veld in hetzelfde vlak en omgekeerd een deel van het elektrische veld dat loodrecht staat op de voortbewegingsrichting gaat in het stelsel in

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%206.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Uitleg §7 Sterren
    waarde π 2 heeft is sin Φ 1 en bereikt de component zijn maximale waarde de amplitudo De hoek π 2 komt overeen met 90 º Voor Φ 0 π of 2 π heeft sin Φ de waarde 0 en voor Φ 3π 2 wordt sin Φ 1 Dit herhaalt zich elke trilling De hoek Φ wordt ook wel de fasehoek genoemd De hoek loopt na 2 π gewoon door Bij Φ 4π zijn er twee trillingen doorlopen enzovoort zie figuur 701 Wanneer de bron t seconde bezig is met golven uitzenden dan is de doorlopen fasehoek van de trilling bij de bron zelf Φ ω t radialen Op een afstand s van de bron is de fasehoek van de golf die daar op dat tijdstip t passeert Φ ω t s c want de golven komen daar pas s c seconde nadat ze de bron verlaten hebben aan De afstand s tussen de bron en de oorsprong van het stelsel in rust geeft Einstein aan met s a x b y d z waarbij x y en z de componenten van s langs de drie assen zijn en waarbij a b en d de richtingscosinussen van de afstand worden genoemd In figuur 702 is de afstand s aangegeven De componenten van s worden verkregen door s op elk van de drie assen te projecteren Een handige maar in onbruik geraakte methode Voor x geldt x s cos α De richtingscosinus a is gelijk aan cos α die weer eenvoudigweg gelijk is aan x s Voor y geldt y s cos β met de richtingscosinus b cos β y s en voor z geldt z s cos γ met de richtingscosinus d cos γ z s Hiermee wordt a x b y d z x 2 s y 2 s z 2 s x 2 y 2 z 2 s s 2 s s Bedenk dat de stelling van Pythagoras in de ruimte luidt x 2 y 2 z 2 s 2 Figuur 702 De richtingscosinussen Op deze manier is de afstand s direct in zijn componenten a x b y en d z weergegeven De fasehoek Φ wordt hiermee Φ ω De tijd t hoort bij het punt x y z waar de bron zich bevindt De tijdsduur t ax by dz c is de tijd die de golf er over heeft gedaan om vanaf de bron de stilstaande waarnemer in de oorsprong te bereiken De uitdrukking tussen haken is gelijk aan t t dat is de tijdsduur dat de waarnemer in de oorsprong de golven reeds waarneemt Einstein schrijft de fasehoek op bovenstaande wijze op omdat je er dan vat op hebt je kunt hem transformeren De variabelen die er in voorkomen t x y en z kunnen namelijk worden getransformeerd met de transformatieformules Voor de veldcomponenten X Y Z en L M en N zijn de getransformeerde formules ook bekend Het is nu de bedoeling uit te zoeken welke grootte een waarnemer in een bewegend stelsel ten opzichte van het stelsel in rust en de bron aan de zes componenten van het elektromagnetische veld zal toekennen zie figuur 703 Als Φ de fasehoek is die de bewegende waarnemer constateert kan hij daarvoor opschrijven Φ ω waarbij op het tijdstip τ a ξ b η d ζ c de golf de waarnemer in het stelsel in beweging bereikt De waarnemer in het stelsel in beweging zal volgens de getransformeerde formules van de vorige paragraaf de zes componenten zien als X X X 0 sin Φ L L L 0 sin Φ Y γ Y 0 N 0 sin Φ M γ M 0 Z 0 sin Φ Z γ Z 0 M 0 sin Φ N γ N 0 Y 0 sin Φ Figuur 703 De waarnemers in het stelsel in beweging komen dichter bij de bron Nu is het aardige dat de fasehoek Φ ω de getransformeerde functie moet zijn van Φ en beide functies moeten dezelfde vorm hebben immers volgens het relativiteitsprincipe geldt De natuurkundige wetten zijn onafhankelijk van het stelsel Bovendien moeten Φ en Φ ook nog dezelfde waarde hebben Om daar meer over te weten te komen transformeren we het ding gewoon terug met τ γ t x ξ γ x v t η y ζ z Dan krijgen we Φ ω Om te zien of dit van dezelfde vorm is moet je hem zo herschrijven dat hij zoveel mogelijk lijkt op Φ ω Dat valt niet mee maar na wat gepriegel en gehannes krijg je Φ Als je de uitdrukkingen voor Φ en voor Φ vergelijkt kom je tot de conclusie dat de vorm dezelfde is als de volgende gelijkheden gelden ω γ ω a b d Deze gelijkheden moeten dus gelden omdat volgens het relativiteitsprincipe de vorm dezelfde moet zijn Dit is de hogere filosofie achter de theorie Als die aanname niet klopt valt alles in duigen maar tot op heden is de aanname rechtovereind gebleven In één moeite door zal nu ook Φ gelijk zijn aan Φ Met behulp van de gelijkheden kan je a b d en ω in a b d en ω uitdrukken Dat gaan we doen om te beginnen met a want a heb je in de drie ander formules ook nodig In één van de bovenstaande formules staat a uitgedrukt in a Je kan a en a met elkaar verwisselen en v verwisselen met v Dan krijg je het volgende resultaat maar je kan a ook uit de vergelijking oplossen Dat kost wat meer tijd en je maakt makkelijk vergissingen maar je krijgt ook a In de drie andere formules komt de uitdrukking γ voor Als we hierin a invullen en ons herinneren dat voor γ geldt γ dan blijkt γ Hiermee kom je eenvoudig op b d ω ω Deze uitdrukkingen staan in het artikel van Einstein halverwege blz 911 De uitdrukking voor ω leidt ons nu direct naar het Dopplereffect voor elektromagnetische straling in het algemeen en licht in het bijzonder Let maar op Wegens de relatie ω 2π f tussen de hoekfrequentie ω en de gewone frequentie f en ω 2π f geldt dus dat de waarnemer in het stelsel in beweging een frequentie f constateert die gelijk is aan f f waarbij f de frequentie is die een waarnemer in het stelsel in rust constateert en waarbij a cos α x s Verder geldt nog altijd γ 1 Let op de bewegingsrichting van het stelsel in beweging en van het licht dat de waarnemers tegemoetkomt is in figuur 703 tegengesteld zodat v c in die situatie negatief is Dan is f groter dan f We gaan het probleem vereenvoudigen Als we de bron in het xy vlak kiezen zijn er van de drie mogelijke hoeken α β en γ nog maar twee over α en β waarbij geldt β 90 o α Eigenlijk is er nu nog maar één onafhankelijke hoek over We kiezen de hoek met de x as en noemen die hoek φ De richtingscosinus a is dan de cosinus van de hoek φ tussen de lichtstralen van de bron en de x as van het stilstaande stelsel a cos φ Bedenk dat de x as samenvalt met de ξ as van het bewegende stelsel dat zich in de richting van de positieve x as beweegt Dopplereffect en rood en blauwverkleuring Als we nu a en γ uitschrijven krijgen we het relativistische Dopplereffect Bekijk ook eens de alternatieve afleiding van deze formule zonder gebruik van de Maxwellvergelijkingen Begrijpelijke afleidingen Vergelijk dit resultaat met de klassieke formules in het begin en je ziet dat waar er voor geluid een onderscheid wordt gemaakt tussen de bewegende bron en de bewegende waarnemer voor elektromagnetische golven licht slechts één formule nodig is waarbij alleen de relatieve beweging tussen waarnemer en bron van belang is Hier keken Einsteins tijdgenoten behoorlijk van op In de teller van de formule staat het resultaat dat bij geluid voor een bewegende waarnemer wordt gevonden Het is de vraag waarom de bewegende bron niet meedoet dat moeten we nog eens uitzoeken In de noemer staat uitsluitend het effect van de snelheid op de tijd Vervolgens laat Einstein zien wat er gebeurt als de waarnemer zich beweegt langs de lijn waarnemer bron de zichtlijn De hoek φ is dan nul Je krijgt f f Dit kan ook worden geschreven als f f waarmee de symmetrie tussen het stelsel in beweging en het stelsel in rust mooi tot uitdrukking komt Als v c positief wordt genomen verwijderen de bron en de waarnemer in het stelsel in beweging zich van elkaar Dan is f f de situatie van roodverschuiving Als v c negatief is naderen de bron en de waarnemer elkaar Dan wordt het blauwverschuiving Als de snelheid v is dan is de verschuiving voor alle frequenties eenzelfde factor Daarom hoeft een sterrenkundige maar van één spectraallijn te weten hoeveel deze in frequentie is verschoven om de snelheid van de bron te kennen Vraag Een emissielijn van het element zuurstof heeft een golflengte van 0 3727 µm als je de golflengte in het laboratorium meet In een ver verwijderd sterrenstelsel wordt deze lijn ook aangetroffen maar de hier gemeten golflengte is als gevolg van de roodverschuiving 0 415 µm Bereken met welke snelheid het sterrenstelsel zich van ons verwijderd Gebruik voor de lichtsnelheid c 2 998 x 10 8 m s Antw 32 1 x 10 6 m s Hier wijst Einstein er in de originele tekst p 912 op dat als v dat dan f Dat moet een typefout zijn want oneindige snelheden zijn onbestaanbaar volgens Einstein zelf We nemen de vrijheid te veronderstellen dat bedoeld is v c zodat v c 1 en f Dan wordt de noemer 0 en de frequentie f wordt oneindig In tegenstelling tot de gebruikelijke opvatting zegt Einstein Volgens de gebruikelijke opvatting werd een dubbele frequentie f 2 f verwacht We kunnen er aan toevoegen dat als de waarnemer zich met de lichtsnelheid verwijdert van de bron de waargenomen frequentie nul wordt net als wanneer een waarnemer zich met de geluidsnelheid van een geluidbron zou verwijderen Daarin zit geen onverwachte uitkomst Terug Aberratie Uit de afgeleide formules geeft Einstein vervolgens een nieuwe verklaring voor een al lang bekend verschijnsel dat het gevolg is van de snelheid van de aarde in zijn baan rond de zon De snelheid van de aarde ten opzichte van de sterren vertoont een jaarlijkse variatie Als gevolg hiervan vertonen de posities van de sterren op de hemelbol ook een jaarlijkse variatie Het verschijnsel wordt aberratie genoemd of met een oude term afdwaling van het licht zie Hub J Bouten Nieuw Leerboek der Cosmographie 1906 p 61 Alle sterren doen er in dezelfde mate aan mee Het moet wel worden onderscheiden van de verschuiving van plaats voor dichtbij staande sterren ten opzichte van ver weg gelegen sterren als gevolg van onze jaarlijkse beweging de jaarlijkse parallax Met een oude term Jaarlijksch verschilzicht der vaste sterren De aberratie komt door de snelheid van de aarde de parallax komt door de verplaatsing van de aarde De parallax is alleen waarneembaar voor nabije sterren De klassieke verklaring voor de aberratie is door de ontdekker van het verschijnsel Bradley al in 1729 gegeven zie figuur 704 James Bradley 1693 1762 Brits Astronoom geboren in Sherborne doceerde aan de universiteit van Oxford Befaamd om zijn nauwkeurige metingen Het is dezelfde verklaring die ook wordt gegeven voor de richting waarmee de regen tegen een fietsende fietser aanklettert als de regen loodrecht naar beneden valt voor een stilstaande waarnemer Voor de fietser valt de regen niet loodrecht naar beneden als hij hard genoeg fietst krijgt hij de regen in zijn gezicht Hij zal iets naar voren buigen zodat de regen alleen op zijn kop terecht komt Bradley constateerde dat een bepaalde vaste ster de twee na helderste uit het sterrenbeeld de Draak die hij een groot deel van het jaar iedere nacht in zijn sterrenkijker in het vizier kreeg in de loop der tijd van positie veranderde Het was een goed meetbaar effect waarvan hij ontdekte dat het niet de jaarlijkse parallax kon zijn Hij bracht het effect in verband met de eindige lichtsnelheid en de snelheid van de aarde in zijn baan om de zon Figuur 704 Door de aardbeweging moet een kijker iets worden gekanteld De redenatie is de volgende de tijd t die het licht van de ster er over doet om van de objectieflens vooraan van een sterrenkijker tot aan het oculair ooglens te komen is t c Hierin is de lengte van de kijker In die tijd heeft de sterrenkijker zich over een afstand v t v c verplaatst omdat hij meebeweegt met de aarde Om het beeld van de ster toch in het midden van het oculair te krijgen moet de kijker enigszins worden gekanteld Die kantelhoek wordt gevonden met sinus θ Het quotiënt v c wordt de aberratieconstante genoemd Dit is de maximale afwijking want naarmate het sterlicht minder loodrecht invalt wordt de afwijking kleiner Jaarlijks wordt door iedere vaste ster op die manier een ellips beschreven tegen de hemelbol met een lange as van 41 boogseconden Daarbij geldt als we een ster tegemoet snellen staat hij schijnbaar lager en als we ons van de ster verwijderen staat hij schijnbaar hoger Tweemaal per jaar heeft een ster zijn grootste hoekafwijking ten opzichte van zijn gemiddelde plek namelijk als het aankomende sterlicht en de snelheid van de aarde loodrecht op elkaar staan In figuur 705 zijn dat de plaatsen 1 en 2 Figuur 705 Tweemaal per jaar staat de snelheid van de aarde loodrecht op het invallende licht van een vaste ster Boogseconde De grootte van een hoek wordt uitgedrukt in graden Een rechte hoek is 90 o Kleine hoeken of onderdelen van een hoek kunnen decimaal worden aangegeven bijvoorbeeld 7 4438 o maar gebruikelijk is om kleine hoeken uit te drukken in minuten en seconden Een boogminuut is één zestigste graad en een boogseconde is één zestigste van een boogminuut Zo wordt de genoemde hoek 7 graden 26 minuten 37 68 seconden Je ziet uiteindelijk verval je toch weer in het decimale systeem Vraag Als een sterrenkijker een lengte heeft van 12 m bereken dan de tijd die het licht er over doet om van objectieflens tot het oculair te geraken Over welke afstand heeft de kijker zich in die tijd verplaatst Laat zien dat bij een lichtinval die loodrecht staat op de bewegingsrichting van de aarde de hoek thêta θ gelijk wordt aan 20 4 boogseconde Gebrui k c 2 998 x 10 8 m s en de aardsnelheid is v 29 7 x 10 3 m s Antw 40 0 x 10 9 s en 1 19 mm In de tweede helft van de negentiende eeuw dus na 1850 kwam deze verklaring steeds meer onder vuur te liggen Als de kantelhoek namelijk afhing van de tijd die het licht er over deed om van de objectieflens tot het oculair te komen dan zou de kantelhoek moeten veranderen als je de kijker zou vullen met een materiaal waarin het licht een lagere snelheid had Zo n materiaal is water Daarin is de lichtsnelheid ongeveer 75 van die in lucht De kantelhoek zou 1 33 maal zo groot moeten zijn De Engelsman Airy waagde er in 1871 zijn telescoop aan en vulde hem spontaan met water Na een grondig onderzoek kwam hij met een verrassend resultaat de kantelhoek was niet veranderd Dus de verklaring van Bradley klopte niet George Biddell Airy Brits sterrenkundige geboren in Alnwick 1801 hoogleraar aan de universiteit van Cambridge vooral bekend omdat hij het belang van de veldtheorie van Michael Faraday niet onderkende en John Adams ontdekking van de planeet Neptunus in 1845 niet geloofde Ook in dit geval wist hij iets niet aan te tonen maar hij had wel gelijk Overleden in 1892 In zijn Versuch einer Theorie blz 88 weet onze wegbereider van de Relativiteitstheorie H A Lorentz het negatieve resultaat van Airy op een moeizame wijze te verklaren Einstein echter scherpt op heldere wijze in enkele bladzijden de formule nog wat aan en bevestigt dat het medium er niet toe doet Hij laat zien dat de aberratie eenvoudig te vinden is uit het verschil van de richtingscosinus van de bron in het stelsel in rust en het stelsel in beweging Neem de formule a van een stukje terug Als je de betekenis van a en a invult staat er cos φ Deze uitdrukking bevat beide richtingscosinussen van het sterlicht ten opzichte van de sterrenkijker op aarde Voor een stilstaande aarde zou gelden cos φ en voor de bewegende aarde geldt cos φ Bekijk ook eens de alternatieve afleiding van deze formule zonder gebruik van de Maxwellvergelijkingen Begrijpelijke afleidingen Deze formule geeft het verschijnsel aberratie in de meest algemene vorm weer zo stelt hij Als φ π 2 dus cos φ 0 als de aardbeweging en de invallende straling loodrecht op elkaar staan houden we de uitdrukking cos φ v c over wat overeenkomt met de klassieke formule sinus θ v c Zie figuur 704 en bedenk dat voor de hoeken geldt sin θ cos φ Als we in de richting bewegen van de ster is v c positief want v en c zijn dan tegengesteld gericht Het minteken werkt hier een beetje verwarrend De klassieke formule ging er van uit dat het licht van de ster loodrecht op de beweging van de aarde stond terwijl Einstein en Lorentz laten zien dat de positie van de ster vanaf de aarde gezien daadwerkelijk is veranderd waardoor het licht enigszins scheef invalt Dan maakt het niet meer uit welke snelheid het licht in de sterrenkijker heeft Intensiteit Tenslotte vraagt Einstein zich af blz 912 of de amplitudo de grootste waarde van de golven verandert wanneer de golven worden waargenomen in het stelsel in beweging Dat is een nieuwe vraag waar zijn tijdgenoten niet mee zaten behalve natuurlijk Lorentz Versuch einer Theorie blz 108 De oplossing wordt door Einstein in een paar regels gegeven wanneer de amplitudo van de elektromagnetische

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%207.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive

  • Uitleg Afleidingen bij §7
    bewegende koker van D naar E Probeer je dat zo voor te stellen terwijl de bewegende koker langs de stilstaande schuift beweegt het snijpunt van de twee kokers met de lichtsnelheid langs de stilstaande koker Het plukje licht bevindt zich voortdurend in dat snijpunt De tijdsduur om van het begin naar het eind van de koker te komen is in beide kokers dezelfde De hoek φ verschilt van de hoek φ die de waarnemer achter de bewegende koker zelf constateert Voor de waarnemer bij de rustende koker is de hoek φ die de bewegende koker inneemt eenvoudig te bepalen uit de cosinus van die hoek aanliggende rechthoekszijde gedeeld door schuine zijde waarbij voor de schuine zijde Pythagoras is gebruikt Figuur 2 Stilstaande koker ED wordt gepasseerd door de koker E D die zich na 1 sec op de plaats ED bevindt We bekijken dezelfde situatie vanuit het standpunt van de waarnemer die zich bij de bewegende koker bevindt Naar zijn oordeel houdt hij de koker onder een hoek φ op de ster gericht Zijn koker staat voor hem stil en hij wordt met een snelheid v gepasseerd door de eerst genoemde koker van figuur 1 Dit is te zien in figuur 3 De hoek die de passerende koker volgens hem inneemt is φ Deze hoek φ zullen we niet behoeven uit te zoeken want wij kunnen volstaan met het vinden van de hoek φ De hoek φ is de hoek waarmee sterrenkundigen te maken hadden De waarde van φ staat echter tevoren vast φ φ Waarom Omdat je weer terug bent op je uitgangspunt Figuur 3 Gezien vanaf de bewegende koker passeert de rustende koker met een snelheid v We beredeneren de hoek φ Vanuit het eerste rustende stelsel zagen we de bewegende koker passeren onder een hoek φ De hoogte van de gevormde driehoek was c sin φ en de aanliggende rechthoekszijde was c cos φ v De hoogte in de y richting verandert niet als je van stelsel verwisseld maar de lengte van de aanliggende rechthoekszijde verandert wél De afstand c cos φ v is de horizontale component van de passerende koker D E zoals gezien vanuit het rustende stelsel De waarnemer bij de bewegende koker zal een γ keer grotere lengte opmeten voor deze rechthoekszijde Volgens hem is die lengte γ c cos φ v Ook de lengte van de koker zelf krijgt daarmee een andere waarde namelijk Hiermee kunnen we cos φ berekenen We halen γ onder het wortelteken vandaan We delen vervolgens de teller en noemer door γ en schrijven het kwadraat 1 γ 2 onder het wortelteken uit Bedenk dus We pakken nu c 2 cos 2 φ c 2 sin 2 φ samen tot c 2 en voor v 2 sin 2 φ schrijven we v 2 sin 2 φ v 2 1 cos 2 φ Nu valt v 2 weg tegen v 2 Onder het wortelteken blijkt nu een kwadraat te staan c v cos φ 2 Daarmee krijgen we een belangrijk

    Original URL path: http://www.einsteingenootschap.nl/uitleg%207plus.htm (2016-02-07)
    Open archived version from archive



  •